Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Dik koordinat düzleminde, başlangıçta (0,20)(0, 20) noktasında bulunan AA hareketlisi yy-ekseni boyunca negatif yönde saniyede 33 birim sabit hızla, (−10,0)(-10, 0) noktasında bulunan BB hareketlisi ise xx-ekseni boyunca pozitif yönde saniyede 44 birim sabit hızla aynı anda harekete başlamıştır.

Buna göre, hareketleri boyunca bu iki hareketli arasındaki mesafe en az kaç birim olur?

Cevap: 10 birim

Cevap

İki hareketli arasındaki en kısa mesafe 10 birimdir.
İki hareketli arasındaki mesafenin karesini veren fonksiyon f(t)=25t2−200t+500f(t) = 25t^2 - 200t + 500 şeklindedir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi t=4t = 4 olup, bu değer yerine yazıldığında mesafe en az f(4)=10\sqrt{f(4)} = 10 birim olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hareketlilerin tt saniye sonraki konumlarını koordinat olarak ifade etme
AA hareketlisinin konumu A(0,20−3t)A(0, 20 - 3t), BB hareketlisinin konumu B(−10+4t,0)B(-10 + 4t, 0) olur.
Hareketliler sabit hızla hareket ettiklerinden geçen süre ile hızlarının çarpımı aldıkları yolu verir.
2
İki hareketli arasındaki mesafeyi tt değişkenine bağlı olarak formüle etme
d(t)=(−10+4t−0)2+(0−(20−3t))2=(−10+4t)2+(20−3t)2d(t) = \sqrt{(-10 + 4t - 0)^2 + (0 - (20 - 3t))^2} = \sqrt{(-10 + 4t)^2 + (20 - 3t)^2}
Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} şeklindedir.
3
Mesafe fonksiyonunun içindeki ifadeyi düzenleyerek ikinci dereceden fonksiyonu elde etme
f(t)=16t2−80t+100+9t2−120t+400=25t2−200t+500f(t) = 16t^2 - 80t + 100 + 9t^2 - 120t + 400 = 25t^2 - 200t + 500 elde edilir.
En küçük değeri bulabilmek için ifadeyi at2+bt+cat^2 + bt + c biçiminde bir parabol denklemine dönüştürmek gerekir.
4
Parabolün en küçük değerini aldığı tepe noktasının süresini (tt) bulma
t=r=−b2a=−−2002×25=4t = r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-200}{2 \times 25} = 4 saniye bulunur.
Kolları yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında (r,kr, k) alır.
5
Bulunan t=4t = 4 değerini mesafe formülünde yerine yazarak en küçük mesafeyi hesaplama
d(4)=25(4)2−200(4)+500=100=10d(4) = \sqrt{25(4)^2 - 200(4) + 500} = \sqrt{100} = 10 birim.
En küçük uzaklığı bulmak için tepe noktasının apsis değeri mesafe fonksiyonunda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasında en küçük veya en büyük değerini alması uygulamaları.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru