Examkin

Soru

Zorluk: KolayParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bir dikdörtgenin komşu iki kenarının uzunlukları sırasıyla x cmx\text{ cm} ve (12−x) cm(12 - x)\text{ cm} olarak verilmiştir.

Buna göre, bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç santimetrekaredir?

Cevap: 36 cm^2

Cevap

En büyük alan değeri 36 santimetrekaredir.
Dikdörtgenin alanı A(x)=−x2+12xA(x) = -x^2 + 12x fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyon başkatsayısı negatif olan bir parabol belirttiği için en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=−122⋅(−1)=6r = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6 ve bu noktadaki alan değeri A(6)=36A(6) = 36 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin alan fonksiyonunu oluşturun.
A(x)=x⋅(12−x)=−x2+12xA(x) = x \cdot (12 - x) = -x^2 + 12x
Dikdörtgenin alanı, komşu iki kenarının uzunluklarının çarpımına eşittir.
2
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulun.
r=−b2a=−122⋅(−1)=6r = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6
Kolları aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
3
Tepe noktasının ordinatını (kk) hesaplayarak maksimum alanı bulun.
k=A(6)=−(6)2+12⋅6=−36+72=36k = A(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 = -36 + 72 = 36
Bulunan x=6x = 6 değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak en büyük alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının ordinatı (kk), fonksiyonun alabileceği en büyük veya en küçük değeri verir.

Alternatif Yöntem

Türev yardımıyla da bu problemi çözebiliriz. Alan fonksiyonu olan A(x)=−x2+12xA(x) = -x^2 + 12x ifadesinin türevi alınarak sıfıra eşitlenir: A′(x)=−2x+12=0  ⟹  x=6A'(x) = -2x + 12 = 0 \implies x = 6 olur. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en büyük alan A(6)=36A(6) = 36 olarak elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru