Examkin

Soru

Zorluk: KolayRiemann Toplamı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde elde edilen Riemann alt toplamı 55 olur.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur. f(x)=x2f(x) = x^2 fonksiyonunun [0,3][0, 3] aralığında 33 eş alt aralığa göre Riemann alt toplamı 55'tir.
Verilen fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında sürekli ve artan olduğundan, sol uç noktalardaki değerler kullanılarak yapılan Riemann alt toplamı hesabı 1⋅(0+1+4)=51 \cdot (0 + 1 + 4) = 5 sonucunu verir. Bu nedenle ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini (\Delta x) hesaplayın.
Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3 - 0}{3} = 1
Kapalı aralık [a,b]=[0,3][a, b] = [0, 3] ve alt aralık sayısı n=3n = 3 olduğundan aralık genişliği Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n} formülüyle bulunur.
2
Alt aralıkları belirleyin ve her aralıktaki sol uç noktaları tespit edin.
Aral��klar: [0,1][0, 1], [1,2][1, 2], [2,3][2, 3]. Sol uç noktalar: x0=0x_0 = 0, x1=1x_1 = 1, x2=2x_2 = 2.
Fonksiyon [0,3][0, 3] aralığında artan olduğundan, her alt aralıktaki minimum değer sol uç noktada ger��ekleşir.
3
Sol uç noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.
f(0)=02=0f(0) = 0^2 = 0, f(1)=12=1f(1) = 1^2 = 1, f(2)=22=4f(2) = 2^2 = 4.
Alt toplam hesabında kullanılacak dikdörtgen yüksekliklerini bulmak için fonksiyon değerleri hesaplanır.
4
Riemann alt toplamını hesaplayın.
Alt Toplam=Δx⋅[f(0)+f(1)+f(2)]=1⋅(0+1+4)=5\text{Alt Toplam} = \Delta x \cdot [f(0) + f(1) + f(2)] = 1 \cdot (0 + 1 + 4) = 5.
Alt aralık genişliği ile elde edilen yüksekliklerin çarpılarak toplanması Riemann alt toplamını verir.

Anahtar Kavram

Riemann Alt Toplamı

Alternatif Yöntem

Grafik üzerinde [0,3][0, 3] aralığında xx-ekseni ile y=x2y = x^2 eğrisi arasında kalan bölge çizilebilir. Tabanı 1 birim olan ve yükseklikleri sırasıyla f(0)=0f(0)=0, f(1)=1f(1)=1 ve f(2)=4f(2)=4 olan üç adet dikdörtgenin alanları toplamı doğrudan 0+1+4=50 + 1 + 4 = 5 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru