Bir (a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında a_5 + a_9 + a_{13} = 36 ve a_3 \cdot a_{1… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_5 + a_9 + a_{13} = 36

a_3 \cdot a_{15} = 108

bağıntıları vardır.

Bu dizinin ortak farkı pozitif bir tam sayı olduğuna göre, dizinin birinci terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

Cevap: 4

Dizinin birinci terimi (

a_1

) 4 olarak bulunur.

Verilen aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri kullanılarak

a_3 + a_{15} = 24

toplamına ulaşılır. Çarpımları 108 ve toplamları 24 olan sayılar 6 ve 18'dir. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır ve

a_3 = 6

a_{15} = 18

olmalıdır. Buradan ortak fark

r = 1

ve birinci terim

a_1 = 4

olarak elde edilir.

Aritmetik dizinin indis özelliklerini kullanarak

a_9

a_3 + a_{15}

değerlerini bulunuz.

a_9 = 12

a_3 + a_{15} = 24

Aritmetik dizide indis toplamları eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. Buradan

a_5 + a_{13} = 2a_9

yazılabilir. Soru kökündeki ilk bağıntıdan

a_5 + a_9 + a_{13} = 3a_9 = 36 \implies a_9 = 12

olur. Benzer şekilde

a_3 + a_{15} = 2a_9 = 24

elde edilir.

a_3

a_{15}

terimlerinin toplam ve çarpım değerlerinden faydalanarak bu terimleri bulunuz.

a_3 = 6

a_{15} = 18

a_3 + a_{15} = 24

a_3 \cdot a_{15} = 108

bağıntılar��nı sağlayan sayılar

x^2 - 24x + 108 = 0

denkleminin kökleridir. Bu denklem çarpanlarına

(x-6)(x-18) = 0

olarak ayrılır. Ortak farkı pozitif olan bir aritmetik dizi artan olacağından, küçük indisli terim daha küçük olmalıdır. Dolayısıyla

a_3 = 6

a_{15} = 18

olur.

Dizinin ortak farkını (

r

) ve birinci terimini (

a_1

) hesaplayınız.

r = 1

a_1 = 4

Terimler arasındaki farktan ortak fark

a_{15} - a_3 = 12r \implies 18 - 6 = 12r \implies r = 1

olarak bulunur. Birinci terim ise

a_3 = a_1 + 2r \implies 6 = a_1 + 2(1) \implies a_1 = 4

şeklinde hesaplanır.

Aritmetik dizilerde indis kuralları, genel terim formülü ve ortak fark özellikleri

Soru