Examkin

Soru

Zorluk: ZorYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x3−3(a−1)x2+3(a2−3a+2)x+5f(x) = x^3 - 3(a-1)x^2 + 3(a^2 - 3a + 2)x + 5
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı, apsisleri çarpımına eşittir.
Buna göre, aa değeri kaçtır?
  1. A
    1
  2. B
    3
  3. 4Cevap
  4. D
    5
  5. E
    2

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının varlığı için türevin diskriminant��nın pozitif olması (a>1a > 1) gerekir. Apsislerin toplamı ile çarpımının eşitliğinden elde edilen a2−5a+4=0a^2 - 5a + 4 = 0 denkleminin köklerinden bu şartı sağlayan değer 4'tür.
Doğru seçenekteki değer olan 4, türevin sıfıra eşitlendiği denklemin iki farklı reel kökü olmasını (a>1a > 1 şartını) sağlar ve ekstremum noktalarının apsisleri toplamı ile çarpımını birbirine eşitler.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak yerel ekstremum noktalarının apsislerini belirleyen denklemi elde etmek.
f′(x)=3x2−6(a−1)x+3(a2−3a+2)=0f'(x) = 3x^2 - 6(a-1)x + 3(a^2 - 3a + 2) = 0 denklemi, yani sadeleştirildiğinde x2−2(a−1)x+(a2−3a+2)=0x^2 - 2(a-1)x + (a^2 - 3a + 2) = 0 denklemi bulunur.
Bir polinom fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri, türevinin işaret değiştirdiği (tek katlı kökleri olan) noktalardır.
2
Ekstremum noktalarının var olabilmesi için türev denkleminin iki farklı reel kökünün olması gerektiğini belirlemek.
Δ>0  ⟹  [−2(a−1)]2−4(a2−3a+2)>0  ⟹  4(a−1)>0  ⟹  a>1\Delta > 0 \implies [-2(a-1)]^2 - 4(a^2 - 3a + 2) > 0 \implies 4(a-1) > 0 \implies a > 1 şartı elde edilir.
Eğer Δ≤0\Delta \le 0 ise türev fonksiyonu işaret değiştirmez, dolayısıyla yerel ekstremum noktası oluşmaz.
3
Kökler toplamı ve k��kler çarpımı formüllerini kullanarak aa parametresine bağlı denklemi kurmak.
Kökler toplamı x1+x2=2(a−1)x_1 + x_2 = 2(a-1), kökler çarpımı x1⋅x2=a2−3a+2x_1 \cdot x_2 = a^2 - 3a + 2 olarak bulunur. Soruda verilen eşitlikten 2(a−1)=a2−3a+2  ⟹  a2−5a+4=02(a-1) = a^2 - 3a + 2 \implies a^2 - 5a + 4 = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden bir denklemin kökler toplamı −b/a-b/a ve kökler çarpımı c/ac/a formülleriyle hesaplanır.
4
Elde edilen denklemi çözüp a>1a > 1 şartını sağlayan değeri seçmek.
a2−5a+4=0  ⟹  (a−1)(a−4)=0  ⟹  a=1a^2 - 5a + 4 = 0 \implies (a-1)(a-4) = 0 \implies a = 1 veya a=4a = 4 bulunur. a>1a > 1 olması gerektiğinden a=4a = 4 olarak belirlenir.
a=1a = 1 değeri için Δ=0\Delta = 0 olup fonksiyonun yerel ekstremum noktası bulunmadığından bu değer elenir.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonlarda yerel ekstremum noktalarının varlığı ve türevin kökleri ile ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru