Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den büyük ve x<y<zx < y < z şartını sağlayan x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
log⁡2(x⋅y⋅z)=7\log_2(x \cdot y \cdot z) = 7
log⁡x2+log⁡y2+log⁡z2=74\log_x 2 + \log_y 2 + \log_z 2 = \frac{7}{4}
log⁡x2⋅log⁡y2⋅log⁡z2=18\log_x 2 \cdot \log_y 2 \cdot \log_z 2 = \frac{1}{8}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, 4(log⁡xy+log⁡yz+log⁡zx)4(\log_x y + \log_y z + \log_z x) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 17

Cevap

İstenen ifadenin değeri 17'dir.
Soruda verilen logaritmik ifadeler log⁡2\log_2 tabanına dönüştürülüp değişken değiştirme uygulandığında, köklerinin toplamı, ikişerli çarpımlarının toplamı ve çarpımları bilinen bir üçüncü derece denklem elde edilir. Bu denklemin kökleri bulunup büyüklük sıralamasına göre değişkenlere atandıktan sonra taban değiştirme kuralı yardımıyla hedeflenen toplam tam olarak 17 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yapılması ve sıralama şartının belirlenmesi
u=log⁡2xu = \log_2 x, v=log⁡2yv = \log_2 y, w=log⁡2zw = \log_2 z olmak üzere 0<u<v<w0 < u < v < w bağıntısı elde edilir.
Logaritmik ifadeleri daha kolay çözebilmek ve cebirsel denklemler elde etmek için.
2
Verilen logaritma denklemlerinin u,v,wu, v, w cinsinden ifade edilmesi
u+v+w=7u + v + w = 7, 1u+1v+1w=74\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = \frac{7}{4} ve uvw=8uvw = 8 denklemleri elde edilir.
Çarpım kuralı (log⁡2(xyz)=log⁡2x+log⁡2y+log⁡2z\log_2(xyz) = \log_2 x + \log_2 y + \log_2 z) ve taban değiştirme kuralının sonucu olan çarpmaya göre tersi özelliğinin (log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a}) uygulanması amacıyla.
3
Payda eşitleyerek ikişerli çarpımların toplamının hesaplanması
uv+vw+wu=14uv + vw + wu = 14 bulunur.
İkinci denklemde payda eşitlendiğinde elde edilen uv+vw+wuuvw=74\frac{uv+vw+wu}{uvw} = \frac{7}{4} ifadesinde uvw=8uvw = 8 değerini yerine koymak için.
4
Kökleri u,v,wu, v, w olan üçüncü dereceden denklemin yazılması ve çözülmesi
t3−7t2+14t−8=0t^3 - 7t^2 + 14t - 8 = 0 denkleminin kökleri t=1,2,4t = 1, 2, 4 olarak bulunur. Sıralamadan dolayı u=1,v=2,w=4u=1, v=2, w=4 olur.
Toplamları, ikişerli çarpımlarının toplamları ve çarpımları bilinen üç sayıyı belirlemek için Vieta formüllerinden yararlanılır.
5
İstenen ifadenin değerinin taban değiştirme kuralı yardımıyla hesaplanması
4(log⁡xy+log⁡yz+log⁡zx)=174(\log_x y + \log_y z + \log_z x) = 17 elde edilir.
Taban değiştirme kuralı kullanılarak log⁡xy=log⁡2ylog⁡2x=vu\log_x y = \frac{\log_2 y}{\log_2 x} = \frac{v}{u} vb. dönüşümleri yapıp bulunan değerleri yerine yazarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma özelliklerinin (çarpım kuralı, taban değiştirme ve çarpmaya göre tersi özellikleri) cebirsel denklem sistemleriyle birleştirilerek uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru