Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Analitik düzlemde, bir kontrol merkezi orijin noktasında (O(0,0)O(0,0)) bulunmaktadır. Bir araştırma dronu, bu düzlemde 2x+y=52x + y = 5 doğrusu boyunca doğrusal bir rota izleyerek hareket etmektedir. Sinyal kalitesinin korunması amacıyla dronun yalnızca x∈[3,6]x \in [3, 6] kapalı aralığında kaldığı bölgede veri toplamasına izin verilmiştir. Buna göre, dronun veri topladığı süre boyunca kontrol merkezine olan uzaklığının karesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevap: 10

Cevap

Dronun veri toplama merkezine olan uzaklığının karesinin alabileceği en küçük değer 10'dur.
Dronun koordinatları P(x,5−2x)P(x, 5-2x) şeklindedir. Orijine olan uzaklığının karesi f(x)=5x2−20x+25f(x) = 5x^2 - 20x + 25 parabolüdür. Bu parabolün tepe noktası x=2x = 2 olup, tanımlı [3,6][3, 6] aralığının solundadır. Dolayısıyla fonksiyon [3,6][3, 6] aralığında daima artandır ve en küçük değerini sol sınır olan x=3x = 3 noktasında alır. Buradan en küçük değer 32+(−1)2=103^2 + (-1)^2 = 10 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dronun rota denklemi kullanılarak yy koordinatı xx cinsinden ifade edilir.
y=5−2xy = 5 - 2x
Uzaklık formülünü tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için.
2
Uzaklığın karesini veren iki değişkenli formül, tek değişkene bağlı bir parabol fonksiyonuna dönüştürülür.
f(x)=x2+(5−2x)2=5x2−20x+25f(x) = x^2 + (5 - 2x)^2 = 5x^2 - 20x + 25
Orijine olan uzaklığın karesi x2+y2x^2 + y^2 olduğundan, yy yerine elde edilen ifade yazılır.
3
Oluşan parabolün tepe noktasının koordinatı (rr) hesaplanır.
r=−−202⋅5=2r = -\frac{-20}{2 \cdot 5} = 2
Fonksiyonun en küçük değerini alabileceği yerel minimum noktasını (tepe noktasını) tespit etmek için.
4
Tepe noktasının tanımlı aralık olan [3,6][3, 6] ile ilişkisi ve fonksiyonun bu aralıktaki artanlık/azalanlık durumu belirlenir.
r=2∉[3,6]r = 2 \notin [3, 6] olup fonksiyon x≥2x \geq 2 için sürekli artandır.
Kapalı aralıkta en küçük değer aranırken tepe noktasının aralığın içinde olup olmadığı kontrol edilmelidir.
5
Aralığın sol ucu olan x=3x = 3 değeri fonksiyonda yerine yazılarak en küçük değer hesaplanır.
f(3)=5(3)2−20(3)+25=10f(3) = 5(3)^2 - 20(3) + 25 = 10
Fonksiyon [3,6][3, 6] aralığında artan olduğundan en küçük değer aralığın başlangıç noktasında gerçekleşir.

Anahtar Kavram

Bir parabolün belirli bir kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığının kontrol edilmesi gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru