Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

log⁡123=x\log_{12} 3 = x olduğuna göre, log⁡68\log_{6} 8 ifadesinin xx türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1−x1+x\frac{1-x}{1+x}
  2. B
    3+3x1−x\frac{3+3x}{1-x}
  3. 3−3x1+x\frac{3-3x}{1+x}Cevap
  4. D
    3−3x3-3x
  5. E
    2−2x1+x\frac{2-2x}{1+x}

Cevap

İtenen ifadenin verilen değişken cinsinden değeri olan 3−3x1+x\frac{3-3x}{1+x} ifadesidir.
Verilen eşitlikten taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡32=1−x2x\log_3 2 = \frac{1-x}{2x} değeri elde edilir. İstenen log⁡68\log_6 8 ifadesi de 3 tabanına dönüştürülüp bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç 3−3x1+x\frac{3-3x}{1+x} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen log⁡123=x\log_{12} 3 = x ifadesine taban değiştirme kuralı uygulanarak 3 tabanında yazılır.
log⁡312=1x\log_3 12 = \frac{1}{x}
Değişkeni daha kolay çözümlenebilir bir tabana indirgemek amacıyla taban değiştirme yapılmıştır.
2
12=3⋅2212 = 3 \cdot 2^2 çarpanlarına ayrılır ve logaritmanın çarpım özelliği kullanılarak ifade a��ılır.
log⁡3(3⋅22)=log⁡33+log⁡322=1+2log⁡32=1x\log_3 (3 \cdot 2^2) = \log_3 3 + \log_3 2^2 = 1 + 2\log_3 2 = \frac{1}{x}
İfadeyi log⁡32\log_3 2 cinsinden ifade edebilmek için logaritmanın ��arpım ve üs özellikleri kullanılmıştır.
3
Elde edilen denklemden log⁡32\log_3 2 ifadesi çekilir.
2log⁡32=1x−1=1−xx  ⟹  log⁡32=1−x2x2\log_3 2 = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x} \implies \log_3 2 = \frac{1-x}{2x}
İstenen ifadenin hesaplanmasında kullanılmak üzere temel logaritmik değer xx cinsinden yalnız bırakılmıştır.
4
İstenen log⁡68\log_6 8 ifadesi taban değiştirme kuralı uygulanarak 3 tabanına çevrilir.
log⁡68=log⁡38log⁡36=log⁡323log⁡3(2⋅3)=3log⁡32log⁡32+1\log_6 8 = \frac{\log_3 8}{\log_3 6} = \frac{\log_3 2^3}{\log_3 (2 \cdot 3)} = \frac{3\log_3 2}{\log_3 2 + 1}
İstenen ifadeyi, değeri bilinen log⁡32\log_3 2 cinsinden yazabilmek için uygun tabanda yeniden ifade edilmiştir.
5
Bulunan log⁡32=1−x2x\log_3 2 = \frac{1-x}{2x} değeri yerine yazılarak rasyonel ifade sadeleştirilir.
log⁡68=3⋅(1−x2x)1−x2x+1=3(1−x)2x1−x+2x2x=3(1−x)1+x=3−3x1+x\log_6 8 = \frac{3 \cdot \left(\frac{1-x}{2x}\right)}{\frac{1-x}{2x} + 1} = \frac{\frac{3(1-x)}{2x}}{\frac{1-x+2x}{2x}} = \frac{3(1-x)}{1+x} = \frac{3-3x}{1+x}
İfadenin en sade halini cebirsel işlemler yardımıyla bulmak için payda eşitleme ve sadeleştirme yapılmıştır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme özelliği ve logaritmanın çarpım/üs kurallarının uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru