Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bir tiyatro salonunda bilet fiyatı xx TL olarak belirlendiğinde, bir oyunu izlemeye gelen seyirci sayısı 120−2x120 - 2x kişi olmaktadır. Tiyatro salonunun her bir oyun için sabit gideri 400400 TL ve seyirci başına değişken gideri 1010 TL'dir. Buna göre, bu tiyatro salonunun bir oyundan elde edebileceği kâr en fazla kaç TL'dir?

  1. A
    400
  2. B
    425
  3. C
    800
  4. 850Cevap
  5. E
    1400

Cevap

Tiyatro salonunun bir oyundan elde edebileceği maksimum kâr 850 TL'dir.
Kâr fonksiyonu K(x)=−2x2+140x−1600K(x) = -2x^2 + 140x - 1600 olarak elde edilir. Bu parabolün tepe noktası maksimum kârı verir. Tepe noktasının apsisi r=35r = 35 olup, bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında maksimum kâr 850 TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Seyirci sayısı ve bilet fiyatı cinsinden gelir fonksiyonunu oluşturma.
G(x)=x⋅(120−2x)=−2x2+120xG(x) = x \cdot (120 - 2x) = -2x^2 + 120x TL
Kârı hesaplayabilmek için öncelikle toplam geliri bilet fiyatı xx deği��kenine bağlı olarak ifade etmemiz gerekir.
2
Sabit ve değişken giderleri toplayarak toplam maliyet fonksiyonunu oluşturma.
M(x)=400+10⋅(120−2x)=1600−20xM(x) = 400 + 10 \cdot (120 - 2x) = 1600 - 20x TL
Kâr, gelirden giderlerin çıkarılmasıyla bulunduğundan toplam maliyeti belirlemeliyiz.
3
Gelir fonksiyonundan maliyet fonksiyonunu çıkararak kâr fonksiyonunu elde etme.
K(x)=G(x)−M(x)=−2x2+140x−1600K(x) = G(x) - M(x) = -2x^2 + 140x - 1600 TL
Maksimum kârı verecek tepe noktasını bulmak için kâr fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.
4
Kâr parabolünün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama.
r=−b2a=−1402(−2)=35r = -\frac{b}{2a} = -\frac{140}{2(-2)} = 35 TL
Kolları aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında (x=rx = r) alır.
5
Bulunan r=35r = 35 değerini kâr fonksiyonunda yerine yazarak maksimum kârı bulma.
K(35)=−2(35)2+140(35)−1600=850K(35) = -2(35)^2 + 140(35) - 1600 = 850 TL
Maksimum kâr miktarını bulmak için tepe noktasının ordinatını (k=K(r)k = K(r)) hesaplarız.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası yardımıyla en büyük (maksimum) değerini bulma ve kâr optimizasyonu uygulamaları.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru