x \neq 1 olmak üzere, bir x pozitif gerçel sayısı için \log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \neq 1

olmak üzere, bir

x

pozitif gerçel sayısı için

\log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x = \log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x$ değeri kaçtır?

Cevap: 30

Doğru cevap 30'dur.

Verilen denklemde her iki taraf logaritmik çarpımlara bölündüğünde elde edilen rasyonel ifadeler, taban değiştirme kuralı yardımıyla

\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1

biçimine dönüşür. Logaritma toplama özelliğinden

\log_x 30 = 1

olur ve buradan

x = 30

elde edilir.

Eşitliğin her iki tarafını terimlerin çarpımı olan

\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x

ifadesine bölün.

\frac{1}{\log_5 x} + \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = 1

Logaritmik ifadeleri sadeleştirmek ve ortak tabana dönüştürülebilecek rasyonel terimler elde etmek için.

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

taban değiştirme kuralını uygulayarak her terimi

x

tabanında yeniden yazın.

\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1

Tüm logaritma terimlerini aynı tabanda (yani

x

tabanında) bir araya getirerek işlem kolaylığı sağlamak için.

Aynı tabandaki logaritma toplamlarını tek bir logaritma altında çarpım kuralı (

\log_a m + \log_a n + \log_a k = \log_a(m \cdot n \cdot k)

) ile birleştirin.

\log_x(5 \cdot 2 \cdot 3) = 1 \implies \log_x 30 = 1

Denklemi tek bir logaritmik ifadeye indirgeyerek çözüme ulaşmak için.

Logaritma tanımını kullanarak denklemi üstel biçimde yazın ve

x

değerini bulun.

x^1 = 30 \implies x = 30

Logaritma fonksiyonunu ortadan kaldırıp bilinmeyen olan

x

gerçel sayısını elde etmek için.

Taban Değiştirme ve Logaritma Toplama Özelliği

Soru