Ortak farkı pozitif olan bir (a_n) aritmetik dizisinde, a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 56 a_6 \cdot a_{15} = 115 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a_1) kaçtır?

Ortak farkı pozitif olan bir (a_n) aritmetik dizisinde, a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 56 a… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Ortak farkı pozitif olan bir $(a_n)$ aritmetik dizisinde,

a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 56

a_6 \cdot a_{15} = 115

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi ( $a_1$ ) kaçtır?

Cevap: -5

Bu aritmetik dizinin ilk terimi

-5

olarak bulunur.

Verilen terimlerin indis toplamları eşit olduğundan (

3+18 = 8+13 = 6+15 = 21

), denklem

2(a_6+a_{15}) = 56 \implies a_6+a_{15}=28

şeklinde sadeleşir. Çarpımları 115 ve toplamları 28 olan sayılar 5 ile 23'tür. Ortak farkı pozitif (artan dizi) olduğu için

a_6 = 5

a_{15} = 23

bulunur. Buradan ortak fark

r = 2

ve ilk terim

a_1 = a_6 - 5r = -5

olarak elde edilir.

Terimlerin indis özelliklerini kullanarak ilişkilendirme yapılması

a_3 + a_{18} = a_8 + a_{13} = a_6 + a_{15}

Aritmetik dizilerde indislerinin toplamı eşit olan terimlerin toplamları da birbirine eşittir (

3 + 18 = 8 + 13 = 6 + 15 = 21

olduğu için).

Verilen toplam denkleminden

a_6 + a_{15}

değerinin çekilmesi

a_6 + a_{15} = 28

a_3 + a_8 + a_{13} + a_{18} = 2(a_6 + a_{15}) = 56

eşitliğinin her iki tarafı 2'ye bölünür.

Toplamları 28 ve çarpımları 115 olan terimlerin belirlenmesi

a_6 = 5

a_{15} = 23

x^2 - 28x + 115 = 0 \implies (x-5)(x-23) = 0

denkleminin kökleri 5 ve 23'tür. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim daha küçük olmalıdır.

Dizinin ortak farkının (

r

) hesaplanması

r = 2

a_{15} - a_6 = 9r \implies 23 - 5 = 9r \implies 18 = 9r

eşitliği çözülür.

İlk terimin (

a_1

) bulunması

a_1 = -5

a_6 = a_1 + 5r \implies 5 = a_1 + 5(2) \implies a_1 = 5 - 10

işlemi yapılır.

Aritmetik dizilerde indis toplamı eşitliği ve genel terim formülü