Gerçel sayılar kümesinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir f fonksiyonu her x gerçel sayısı için f(f(x)) = x^3 + x - 1\neşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, h(x) = f(x^3 \cdot f(x)) olarak tanımlanan h fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir f fonksiyonu her x gerçel sa… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı, türevlenebilir ve artan bir

f

fonksiyonu her

x

gerçel sayısı için

f(f(x)) = x^3 + x - 1

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $h(x) = f(x^3 \cdot f(x))$ olarak tanımlanan $h$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevap: 10

Cevap

Verilen f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinde x = 1 yazılarak f(1) = 1 değeri elde edilir. Ardından eşitliğin her iki tarafının türevi alınıp x = 1 konulduğunda f'(f(1)) * f'(1) = 4 denklemiyle (f'(1))^2 = 4 bulunur. Fonksiyonun artan olmasından ötürü f'(1) = 2 olarak seçilir. h(x) = f(x^3 * f(x)) ifadesinin türevi zincir ve çarpım kurallarıyla alınarak x = 1 için h'(1) = f'(f(1)) * (3 * f(1) + f'(1)) = 2 * (3 * 1 + 2) = 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

x = 1 yazarak f(1) değerini elde ediniz.

f(1) = 1

f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinde x = 1 yazılırsa f(f(1)) = 1 elde edilir. f fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde artan (ve dolayısıyla bire bir) olduğundan f(1) = 1 olmalıdır. Aksi halde f(1) = k > 1 için f(k) > f(1) yani 1 > k çelişkisi, f(1) = k < 1 için f(k) < f(1) yani 1 < k çelişkisi doğardı.

Eşitliğin her iki tarafının x'e göre türevini alarak f'(1) değerini bulunuz.

f'(1) = 2

f(f(x)) = x^3 + x - 1 eşitliğinin iki tarafının türevi zincir kuralı ile alınırsa f'(f(x)) * f'(x) = 3x^2 + 1 olur. x = 1 için f'(f(1)) * f'(1) = 4 elde edilir. f(1) = 1 olduğundan (f'(1))^2 = 4 bulunur. f fonksiyonu artan olduğu için türevi negatif olamaz. Bu nedenle f'(1) = 2 olarak elde edilir.

h(x) = f(x^3 * f(x)) fonksiyonunun türevini bulunuz.

h'(x) = f'(x^3 * f(x)) * (3x^2 * f(x) + x^3 * f'(x))

Bileşke fonksiyon türevi (zincir kuralı) ve içteki ifadenin türevi için çarpım kuralı uygulanır.

Elde edilen türev denkleminde x = 1 yazarak sonucu hesaplayınız.

h'(1) = 10

h'(1) = f'(1^3 * f(1)) * (3 * 1^2 * f(1) + 1^3 * f'(1)) = f'(f(1)) * (3 * f(1) + f'(1)) yazılır. f(1) = 1 ve f'(1) = 2 değerleri yerlerine yazıldığında h'(1) = f'(1) * (3 * 1 + 2) = 2 * 5 = 10 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpım unutulmamalıdır.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru