Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3x2−6xf(x) = 3x^2 - 6x fonksiyonunun grafiği verilmiştir. ff fonksiyonunun grafiğinin xx-ekseni boyunca sağa 11 birim ötelenmesiyle gg fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre; gg eğrisi, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=4x = 4 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    4
  2. B
    8
  3. 12Cevap
  4. D
    24
  5. E
    56

Cevap

��telenen fonksiyonun bölgelere göre alanları toplamı 12 birimkaredir.
Doğru cevap olan 12 değeri, sağa ötelenmiş fonksiyon olan g(x) ifadesinin sıfır ile dört aralığında x-ekseniyle sınırladığı üç farklı bölgenin alanlarının tek tek mutlak değerce hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir. Fonksiyonun x-ekseninin altında kalan [1, 3] aralığındaki integral değeri negatif olduğundan, bu bölgenin alanı integral değerinin önüne eksi işareti konularak pozitif olarak hesaba katılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Ötelenen fonksiyonun denklemini bulma
g(x)=f(x−1)=3(x−1)2−6(x−1)=3x2−12x+9g(x) = f(x-1) = 3(x-1)^2 - 6(x-1) = 3x^2 - 12x + 9
f(x)f(x) fonksiyonunun xx-ekseni boyunca sağa 11 birim ötelenmesiyle f(x−1)f(x-1) fonksiyonu elde edilir.
2
Fonksiyonun xx-eksenini kestiği noktaları (köklerini) belirleme
x=1x = 1 ve x=3x = 3
Alan sınırlarını belirlemek amacıyla g(x)=0g(x) = 0 denklemi çözülür: 3(x2−4x+3)=0  ⟹  3(x−1)(x−3)=03(x^2 - 4x + 3) = 0 \implies 3(x-1)(x-3) = 0.
3
İntegral sınırlarını belirleme ve bölgelerin işaretlerini inceleme
[0,1][0, 1] aralığında g(x)≥0g(x) \ge 0, [1,3][1, 3] aralığında g(x)≤0g(x) \le 0, [3,4][3, 4] aralığında g(x)≥0g(x) \ge 0
x=1x=1 ve x=3x=3 kökleri [0,4][0, 4] aralığında yer aldığı için alan integralini bu noktalarda parçalamamız gerekir.
4
Bölgelerin alanlarını integral yardımıyla ayrı ayrı hesaplama
A1=4A_1 = 4, A2=4A_2 = 4, A3=4A_3 = 4
g(x)g(x) fonksiyonunun belirsiz integrali G(x)=x3−6x2+9xG(x) = x^3 - 6x^2 + 9x şeklindedir. Buna göre:
- A1=∫01g(x)dx=G(1)−G(0)=4−0=4A_1 = \int_0^1 g(x) dx = G(1) - G(0) = 4 - 0 = 4
- A2=∫13−g(x)dx=−(G(3)−G(1))=−(0−4)=4A_2 = \int_1^3 -g(x) dx = -(G(3) - G(1)) = -(0 - 4) = 4
- A3=∫34g(x)dx=G(4)−G(3)=4−0=4A_3 = \int_3^4 g(x) dx = G(4) - G(3) = 4 - 0 = 4
5
Toplam alanı hesaplama
Toplam Alan =A1+A2+A3=4+4+4=12= A_1 + A_2 + A_3 = 4 + 4 + 4 = 12
Sınırlı bölgelerin alanları toplamı, her bir alt aralıktaki alanların mutlak de��erlerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanılarak eğri ile x-ekseni arasında kalan alanların hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru