Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2f(x) = x^2 parabolü ile bu parabolün xx ekseni boyunca sağa 22 birim ötelenmesiyle elde edilen g(x)g(x) parabolü verilmiştir.

Buna göre; ff ve gg parabolleri ile yy ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    66
  2. B
    44
  3. C
    83\frac{8}{3}
  4. D
    33
  5. 22Cevap

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 2 birimkaredir.
Verilen f(x)=x2f(x) = x^2 parabolünün sağa 22 birim ötelenmesiyle g(x)=(x−2)2g(x) = (x-2)^2 parabolü elde edilir. Bu iki parabolün kesişim noktası x=1x=1 apsisli noktadır. İstenen bölge sol taraftan yy ekseni (x=0x=0) ve sağ taraftan kesişim noktası (x=1x=1) ile sınırlandırılmıştır. Bu aralıkta g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) olduğundan alan integral yardımıyla ∫01(g(x)−f(x)) dx=2\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sa��a ötelenmiş parabol denklemini elde etme
g(x)=f(x−2)=(x−2)2=x2−4x+4g(x) = f(x - 2) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
Bir fonksiyonun grafiği xx ekseni boyunca sağa aa birim ötelendiğinde yeni fonksiyon f(x−a)f(x-a) olur.
2
Parabollerin kesişim noktasını bulma
x2=x2−4x+4⇒4x=4⇒x=1x^2 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1
İki eğrinin kesişim noktasının apsisi, denklemlerinin ortak çözümü ile belirlenir.
3
İntegral sınırlarını belirleme ve alanı hesaplama
Alan = ∫01(g(x)−f(x)) dx=∫01(4−4x) dx=[4x−2x2]01=4(1)−2(1)2−0=2\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (4 - 4x) \, dx = [4x - 2x^2]_0^1 = 4(1) - 2(1)^2 - 0 = 2
yy ekseni x=0x = 0 doğrusudur. [0,1][0, 1] aralığında g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) olduğundan üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak integral hesabı yapılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesabı ve fonksiyonların yatay ötelenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru