x birden farklı pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, \log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x

birden farklı pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3(x^2) \cdot \log_5 x + \log_5 \sqrt{x} \cdot \log_2(x^2)

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x$ değeri kaçtır?

Cevap: 60

Denklemin çözümünden elde edilen

x

değeri 60'tır.

Verilen denklemin her iki tarafı

\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x

çarpımına bölündüğünde ve taban değiştirme kuralı (

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

) uygulandığında denklem ortak

x

tabanında basit bir logaritmik toplama denklemine dönüşür. Logaritmaların toplama kuralı kullanılarak tek terim haline getirilen denklemden

x = 60

sonucu elde edilir.

Verilen denklemdeki terimleri logaritma özelliklerini kullanarak sadeleştirmek.

\log_3(x^2) = 2\log_3 x

\log_5 \sqrt{x} \cdot \log_2(x^2) = \frac{1}{2}\log_5 x \cdot 2\log_2 x = \log_5 x \cdot \log_2 x

eşitlikleri elde edilir.

Logaritmanın

\log_a(b^n) = n\log_a b

özelliğini kullanarak ifadeleri en yalın biçime getirmek amacıyla yapılmıştır.

Elde edilen sadeleşmiş terimleri orijinal denklemde yerine koymak.

\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x = \log_2 x \cdot \log_3 x + 2\log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x

denklemi elde edilir.

Tüm terimleri ortak çarpanlar halinde görebilmek amacıyla yapılmıştır.

Denklemin her iki tarafını

\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x

çarpımına bölmek.

1 = \frac{1}{\log_5 x} + \frac{2}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x}

eşitliği elde edilir.

Her bir terimi taban değiştirme özelliğine uygun kesirli biçime getirmek amacıyla yapılmıştır.

Taban değiştirme kuralını uygulamak.

1 = \log_x 5 + 2\log_x 2 + \log_x 3

eşitliği elde edilir.

Farklı tabanlardaki ifadeleri ortak

x

tabanında birle��tirebilmek amacıyla yapılmıştır.

Logaritma toplama özelliğini ve kat sayı kuralını uygulayarak sağ tarafı tek bir logaritma altında birleştirmek.

1 = \log_x 5 + \log_x(2^2) + \log_x 3 \implies 1 = \log_x(5 \cdot 4 \cdot 3) \implies 1 = \log_x 60

eşitliği elde edilir.

Aynı tabandaki logaritmaların toplamının, argümanların çarpımına eşit olması kuralını uygulamak amacıyla yapılmıştır.

Logaritma tanımını kullanarak bilinmeyeni çekmek.

x^1 = 60 \implies x = 60

elde edilir.

\log_a b = c \iff a^c = b

tanımından yararlanarak denklem çözülmüştür.

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Soru