Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonunun grafiği, xx-eksenini [−2,5][-2, 5] aralığında yalnızca apsisleri −2-2 ve 33 olan noktalarda kesmektedir.

ff fonksiyonu;
* [−2,3][-2, 3] aralığındaki tüm xx değerleri için f(x)≤0f(x) \le 0
* [3,5][3, 5] aralığındaki tüm xx değerleri için f(x)≥0f(x) \ge 0

koşullarını sağlamaktadır. Bu fonksiyon için,
∫−25f(x) dx=4\int_{-2}^{5} f(x) \, dx = 4
∫−25∣f(x)∣ dx=12\int_{-2}^{5} |f(x)| \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun grafiği, xx-ekseni, x=−2x = -2 ve x=3x = 3 doğruları ile sınırlanan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. 4Cevap
  2. B
    6
  3. C
    8
  4. D
    10
  5. E
    16

Cevap

İstenen sınırlı bölgenin alanı 4 birimkaredir.
Belirli integral ile alan arasındaki ilişki kurulurken, fonksiyonun negatif değerli olduğu aralıkta integral değerinin alanın negatif işaretlisine eşit olduğu, pozitif değerli olduğu aralıkta ise doğrudan alana eşit olduğu bilgisi kullanılır. [−2,3][-2, 3] aralığındaki alana S1S_1 ve [3,5][3, 5] aralığındaki alana S2S_2 denilirse, integral değerleri sırasıyla −S1-S_1 ve S2S_2 olur. Verilen denklemlerden −S1+S2=4-S_1 + S_2 = 4 ve S1+S2=12S_1 + S_2 = 12 elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında 2S1=82S_1 = 8 buradan da aranan alan S1=4S_1 = 4 birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
[−2,3][-2, 3] ve [3,5][3, 5] aralıklarında fonksiyonun işaretini belirlemek.
[−2,3][-2, 3] aralığında f(x)≤0f(x) \le 0 ve [3,5][3, 5] aralığında f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğu verilmiştir.
Belirli integral ile alan arasındaki ilişkiyi kurmak için fonksiyonun xx-ekseninin altında mı üstünde mi kaldığını bilmemiz gerekir.
2
Alanları S1S_1 ve S2S_2 olarak tanımlayıp belirli integralleri alan cinsinden yazmak.
xx-ekseninin altında kalan bölge için ∫−23f(x) dx=−S1\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = -S_1 ve üstünde kalan bölge için ∫35f(x) dx=S2\int_{3}^{5} f(x) \, dx = S_2 olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin integral değeri negatif, alan değeri ise daima pozitif olduğundan integral değeri alanın eksi işaretlisine eşittir.
3
Verilen belirli integral denklemlerini S1S_1 ve S2S_2 cinsinden yazıp bir denklem sistemi oluşturmak.
∫−25f(x) dx=−S1+S2=4\int_{-2}^{5} f(x) \, dx = -S_1 + S_2 = 4 ve ∫−25∣f(x)∣ dx=S1+S2=12\int_{-2}^{5} |f(x)| \, dx = S_1 + S_2 = 12 denklemleri elde edilir.
[−2,5][-2, 5] aralığındaki belirli integral, fonksiyonun işaret değiştirdiği sınır noktası olan x=3x = 3 temel alınarak parçalanmıştır.
4
Oluşan denklem sistemini çözerek aranan S1S_1 alanını hesaplamak.
İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında (S1+S2)−(−S1+S2)=12−4  ⟹  2S1=8  ⟹  S1=4(S_1 + S_2) - (-S_1 + S_2) = 12 - 4 \implies 2S_1 = 8 \implies S_1 = 4 bulunur.
Soru bizden [−2,3][-2, 3] aralığında f(x)f(x) eğrisi ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanını (S1S_1) istemektedir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin geometrik yorumu ve eğri altında kalan alan ile integral işareti arasındaki ilişki.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru