Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Analitik düzlemde, y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü ile xx ekseni arasında kalan bölgede; bir kenarı xx ekseni üzerinde, di��er iki köşesi ise bu parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen çiziliyor.

Buna göre, çizilebilecek bu dikdörtgenin çevresi en çok kaç birim olabilir?

Cevap: 26 birim

Cevap

Çizilebilecek dikdörtgenin çevresi en çok 26 birimdir.
Parabolün altında kalan dikdörtgenin çevre uzunluğu C(x)=−2x2+4x+24C(x) = -2x^2 + 4x + 24 fonksiyonu ile modellenir. Bu fonksiyonun tepe noktasının apsisi r=1r = 1 olup, en büyük çevre değeri C(1)=26C(1) = 26 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün altında kalan dikdörtgenin köşelerini değişkenler cinsinden tanımlama.
Dikdörtgenin parabol üzerindeki köşeleri P(x,12−x2)P(x, 12 - x^2) ve Q(−x,12−x2)Q(-x, 12 - x^2), xx ekseni üzerindeki köşeleri ise P′(x,0)P'(x, 0) ve Q′(−x,0)Q'(-x, 0) olarak belirlenir.
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirlemek için köşe koordinatlarının yazılması gerekir.
2
Kenar uzunluklarını belirleme ve çevre fonksiyonunu oluşturma.
Yatay kenar 2x2x birim, dikey kenar 12−x212 - x^2 birimdir. Çevre fonksiyonu C(x)=2(2x+12−x2)=−2x2+4x+24C(x) = 2(2x + 12 - x^2) = -2x^2 + 4x + 24 olarak elde edilir.
Dikdörtgenin çevresini xx deği��kenine bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon olarak modellemek için.
3
Çevre fonksiyonunun tepe noktasının apsisini (en büyük değeri veren xx değerini) bulma.
r=−b2a=−42(−2)=1r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1 bulunur.
Kollar aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
4
Maksimum çevre değerini hesaplama.
x=1x = 1 için C(1)=−2(1)2+4(1)+24=26C(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 24 = 26 birim elde edilir.
Maksimum çevre uzunluğuna ulaşmak için xx yerine tepe noktasının apsis değerini yazmak gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktasının koordinatlarının kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru