Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, g(x)=f(x−1)g(x) = f(x-1) fonksiyonunun grafiği, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=2x = 2 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    103\frac{10}{3}
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. 33Cevap
  4. D
    92\frac{9}{2}
  5. E
    623\frac{62}{3}

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 3 birimkaredir.
Doğru cevap olan 3 değeri; g(x)=f(x−1)=x2−5x+4g(x) = f(x-1) = x^2 - 5x + 4 fonksiyonunun x=1x = 1 köküne göre [0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] aralıklarındaki integral mutlak değerlerinin toplamından elde edilir. [0,1][0, 1] aralığında integral 116\frac{11}{6} iken [1,2][1, 2] aralığında integral −76-\frac{7}{6} olur. Bu bölge xx-ekseninin altında kaldığından alan değeri pozitif alınarak 76\frac{7}{6} olur. Toplam alan ise 116+76=3\frac{11}{6} + \frac{7}{6} = 3 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x−1)g(x) = f(x-1) fonksiyonunun denklemini elde etmek için f(x)f(x) denkleminde xx yerine x−1x-1 yazarız.
g(x)=(x−1)2−3(x−1)=x2−5x+4g(x) = (x-1)^2 - 3(x-1) = x^2 - 5x + 4 elde edilir.
Alanı hesaplanacak olan sınırlayıcı eğrinin denklemini bulmak için.
2
g(x)=x2−5x+4g(x) = x^2 - 5x + 4 fonksiyonunun xx-eksenini kestiği noktaları (köklerini) buluruz.
x2−5x+4=0  ⟹  (x−1)(x−4)=0x^2 - 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0 denkleminden kökler x=1x = 1 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
[0,2][0, 2] integral sınırları içinde fonksiyonun işaret değiştirdiği noktayı tespit etmek için.
3
[0,2][0, 2] aralığını x=1x = 1 noktasından bölerek integral sınırlarını belirleriz ve her bölgenin alanını ayrı ayrı entegre ederiz.
[0,1][0, 1] aralığında g(x)≥0g(x) \ge 0 olduğundan alan A1=∫01(x2−5x+4) dx=116A_1 = \int_0^1 (x^2 - 5x + 4) \, dx = \frac{11}{6} olur. [1,2][1, 2] aralığında g(x)≤0g(x) \le 0 olduğundan alan A2=−∫12(x2−5x+4) dx=76A_2 = -\int_1^2 (x^2 - 5x + 4) \, dx = \frac{7}{6} olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgedeki integralin negatif değer vermesini engellemek ve alan değerini pozitif almak için.
4
Elde edilen A1A_1 ve A2A_2 alan değerlerini toplarız.
A1+A2=116+76=186=3A_1 + A_2 = \frac{11}{6} + \frac{7}{6} = \frac{18}{6} = 3 birimkaredir.
Toplam sınırlı alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki sınır arasında ve eğri ile eksen arasında kalan alanın hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru