Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin ilk terimi a1=3a_1 = 3 ve ortak farkı d=2d = 2'dir.

p<q<rp < q < r pozitif tam sayıları için SpS_p, SqS_q ve SrS_r toplamları sırasıyla bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olduğuna göre, p+q+rp + q + r toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    20
  2. 24Cevap
  3. C
    30
  4. D
    43
  5. E
    66

Cevap

Koşulu sağlayan p,q,rp, q, r değerlerinin en küçük toplamı 24'tür.
Aritmetik dizinin genel toplam formülü uygulandığında Sn=n(n+2)S_n = n(n+2) elde edilir. Sp,Sq,SrS_p, S_q, S_r toplamlarının geometrik dizi oluşturması için [q(q+2)]2=p(p+2)r(r+2)[q(q+2)]^2 = p(p+2)r(r+2) olmalıdır. Bu Diophantine denkleminin p<q<rp < q < r koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayı çözümü p=2,q=6,r=16p=2, q=6, r=16 olup, bu değerlerin toplamı 24'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplam formülünü oluşturun.
Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] formülünde verilenler yerine yazılırsa; Sn=n2[2⋅3+(n−1)2]=n2[2n+4]=n(n+2)S_n = \frac{n}{2}[2 \cdot 3 + (n-1)2] = \frac{n}{2}[2n + 4] = n(n+2) elde edilir.
Soruda verilen dizinin toplam fonksiyonunu bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü uygulamamız gerekir.
2
Geometrik dizi koşulunu uygulayın.
SpS_p, SqS_q, SrS_r terimleri geometrik bir dizinin ardışık üç terimi olduğundan Sq2=Sp⋅SrS_q^2 = S_p \cdot S_r olmalıdır. Buradan [q(q+2)]2=p(p+2)⋅r(r+2)[q(q+2)]^2 = p(p+2) \cdot r(r+2) denklemi elde edilir.
Bir geometrik dizide ortanca terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir.
3
Değişken dönüşümü yaparak denklemi basitleştirin.
p(p+2)=(p+1)2−1p(p+2) = (p+1)^2 - 1 özdeşliği yardımıyla x=p+1x = p+1, y=r+1y = r+1 ve z=q+1z = q+1 dönüşümleri yapıldığında denklem: (z2−1)2=(x2−1)(y2−1)(z^2 - 1)^2 = (x^2 - 1)(y^2 - 1) halini alır. Burada p<q<rp < q < r olduğundan 1<x<z<y1 < x < z < y olmalıdır.
İfadeyi tam karelere benzeterek Diophantine (tam sayı) denklem çözümü yapmayı kolaylaştırmak için bu dönüşüm uygulanır.
4
Denklemin en küçük pozitif tam sayı çözümlerini analiz edin.
x=3x = 3 (p=2p = 2) için: 8(y2−1)=(z2−1)28(y^2 - 1) = (z^2 - 1)^2 olur. 8=2⋅228 = 2 \cdot 2^2 olduğundan y2−1y^2 - 1 ifadesinin 2⋅k22 \cdot k^2 biçiminde olması gerekir. Buradan y2−2k2=1y^2 - 2k^2 = 1 Pell denklemi elde edilir. Bu denklemin y>xy > x koşulunu sağlayan en küçük tam sayı çözümü y=17,k=12y = 17, k = 12 değerleridir. Bu durumda z2−1=2⋅2⋅12=48  ⟹  z2=49  ⟹  z=7z^2 - 1 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 48 \implies z^2 = 49 \implies z = 7 bulunur. Buradan p=2,q=6,r=16p = 2, q = 6, r = 16 elde edilir. Bu indisler için toplam 2+6+16=242 + 6 + 16 = 24 olur.
En küçük pozitif tam sayı indislerini bulmak için Pell denklemi teorisi ve çarpan analizi uygulanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk nn terim toplamının geometrik dizi özellikleri ile birleştirilerek Diophantine denklem analiziyle çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bu konudan daha fazla soru