\frac{1}{1 + \log_2 75} + \frac{1}{1 + \log_3 50} + \frac{2}{2 + \log_5 6} ifadesinin değe… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{1}{1 + \log_2 75} + \frac{1}{1 + \log_3 50} + \frac{2}{2 + \log_5 6}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 1

İfadenin değeri 1'dir.

İfadedeki tüm terimlerin paydaları uygun tabanlarda yazılıp birleştirildiğinde sırasıyla

\log_2 150

\log_3 150

\log_5 150

elde edilir. Taban değiştirme kuralı kullanılarak ifadeler ters çevrildiğinde tabanları eşit olan

\log_{150} 2

\log_{150} 3

\log_{150} 25

terimleri elde edilir. Bu terimlerin toplamı

\log_{150} (2 \cdot 3 \cdot 25) = \log_{150} 150 = 1

sonucunu verir.

Paydalardaki 1 ve 2 tam sayılarını, yanlarında bulunan logaritma tabanlarına uygun olarak logaritmik biçimde yazalım.

1 = \log_2 2

1 = \log_3 3

2 = 2\log_5 5 = \log_5 5^2 = \log_5 25

olur.

Logaritma toplama özelliğini kullanabilmek için tabanların aynı olması gerekir.

Paydalarda bulunan logaritmik ifadeleri ortak tabanda toplayarak tek bir logaritma halinde birleştirelim.

1 + \log_2 75 = \log_2 2 + \log_2 75 = \log_2 (2 \cdot 75) = \log_2 150

1 + \log_3 50 = \log_3 3 + \log_3 50 = \log_3 (3 \cdot 50) = \log_3 150

2 + \log_5 6 = \log_5 25 + \log_5 6 = \log_5 (25 \cdot 6) = \log_5 150

elde edilir.

Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımına eşittir:

\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)

Bulduğumuz birleştirilmiş ifadeleri orijinal denklemdeki paydalara yerleştirelim.

İfade şu şekle dönüşür:

\frac{1}{\log_2 150} + \frac{1}{\log_3 150} + \frac{2}{\log_5 150}

Paydalardaki ifadelerin yerine basitleştirilmiş halleri yazılmıştır.

Taban değiştirme kuralın�� (

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

) uygulayarak terimleri düzenleyelim.

\frac{1}{\log_2 150} = \log_{150} 2

\frac{1}{\log_3 150} = \log_{150} 3

\frac{2}{\log_5 150} = 2\log_{150} 5

olur.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritmaları pay kısmına taban ve argüman yer değiştirerek taşıyabiliriz.

Son terimdeki 2 katsayısını argümanın üzerine üs olarak taşıyalım ve ardından tüm logaritmaları ortak tabanda toplayalım.

2\log_{150} 5 = \log_{150} 5^2 = \log_{150} 25

olur.
Toplam ifade:

\log_{150} 2 + \log_{150} 3 + \log_{150} 25 = \log_{150} (2 \cdot 3 \cdot 25) = \log_{150} 150 = 1

bulunur.

n\log_a b = \log_a (b^n)

özelliğinden katsayı üsse taşınır ve ortak tabandaki toplam logaritmalar çarpım kuralıyla birleştirilir.

Logaritma fonksiyonunun özellikleri ve taban değiştirme kuralı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru