Dik koordinat düzleminde, eksenleri A(0, 8) ve B(6, 0) noktalarında kesen AB doğrusu ile k… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, eksenleri $A(0, 8)$ ve $B(6, 0)$ noktalarında kesen $AB$ doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan dik üçgensel bölgenin içerisine; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi $AB$ doğru parçası üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen yerleştiriliyor. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç birimkaredir?

Cevap: 12 birimkare

Cevap

En büyük dikdörtgen alanı 12 birimkaredir.

Doğru cevap 12'dir. Dikdörtgenin kenarlarından biri

x

ekseni üzerinde

x

birim, diğeri

y

ekseni üzerinde

y

birim uzunluğunda olup köşesi

AB

doğrusu üzerinde olduğundan

y = 8 - \frac{4}{3}x

ilişkisi mevcuttur. Alan fonksiyonu olan

A(x) = -\frac{4}{3}x^2 + 8x

parabolünün tepe noktası

x = 3

olup en büyük alan değeri 12 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Do��ru denklemini oluşturmak ve y değişkenini x cinsinden ifade etmek.

Eksenleri kestiği noktalar

A(0, 8)

B(6, 0)

olan doğrunun denklemi

\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1

olup, buradan

y = 8 - \frac{4}{3}x

elde edilir.

Dikdörtgenin bir köşesi bu doğru üzerinde bulunduğundan, kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.

Dikdörtgenin alanını tek değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazmak.

A(x) = x \cdot y = x \left(8 - \frac{4}{3}x\right) = -\frac{4}{3}x^2 + 8x

Alanı en büyük yapacak değeri bulmak amacıyla ikinci dereceden bir parabol fonksiyonu elde edilir.

Elde edilen parabol fonksiyonunun tepe noktasını bulup maksimum alanı hesaplamak.

Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{8}{2 \cdot (-\frac{4}{3})} = 3

ve bu değer için maksimum alan

A(3) = 12

birimkaredir.

Baş katsayısı negatif olan ikinci dereceden fonksiyonlar en büyük değerini tepe noktasında (

r

apsisinde) alır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasında en büyük veya en küçük değerini alması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru