Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, y=x3y = \sqrt[3]{x} eğrisi, yy-ekseni, y=−1y = -1 ve y=2y = 2 doğruları arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    154\frac{15}{4}
  2. B
    3
  3. 174\frac{17}{4}Cevap
  4. D
    454\frac{45}{4}
  5. E
    514\frac{51}{4}

Cevap

Sınırlıbo¨lgeninalanı174birimkaredir.Sınırlı bölgenin alanı \frac{17}{4} birimkaredir.
Verilen bölge y-ekseni ile sınırlandırıldığı için alan formülü ∫−12∣g(y)∣dy\int_{-1}^{2} |g(y)| dy şeklindedir. y=x3  ⟹  x=g(y)=y3y = \sqrt[3]{x} \implies x = g(y) = y^3 olduğundan, y∈[−1,0]y \in [-1, 0] aralığında g(y)≤0g(y) \le 0 ve y∈[0,2]y \in [0, 2] aralığında g(y)≥0g(y) \ge 0 olur. Bu durumda alan, ∫−10−y3dy+∫02y3dy=14+4=174\int_{-1}^{0} -y^3 dy + \int_{0}^{2} y^3 dy = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri denklemini y cinsinden ifade etme
y=x3  ⟹  x=y3y = \sqrt[3]{x} \implies x = y^3 elde edilir.
y-ekseni ve y=−1,y=2y = -1, y = 2 doğruları ile sınırlı alanı y değişkenine göre entegre etmek için fonksiyonu x=g(y)x = g(y) biçiminde yazmalıyız.
2
Bölgelerin y-eksenine göre konumunu belirleme ve integral sınırlarını ayırma
y∈[−1,0]y \in [-1, 0] için y3≤0y^3 \le 0 (y-ekseninin solunda) ve y∈[0,2]y \in [0, 2] için y3≥0y^3 \ge 0 (y-ekseninin sağında) olduğu belirlenir.
y-ekseninin solunda kalan bölgenin alanı için integralin önüne eksi işareti koyulmalıdır.
3
Alan formülünü yazma ve belirli integralleri hesaplama
Alan=∫−10−y3dy+∫02y3dy=[−y44]−10+[y44]02=(0−(−14))+(4−0)=14+4=174Alan = \int_{-1}^{0} -y^3 dy + \int_{0}^{2} y^3 dy = \left[ -\frac{y^4}{4} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left( 0 - \left( -\frac{1}{4} \right) \right) + (4 - 0) = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} bulunur.
Belirli integrallerin ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla toplam alan elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir eğri ile y-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplamak için integral sınırları içerisinde fonksiyonun işaretine dikkat edilerek mutlak değer integrali alınır.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru