Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x eğrisi, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=3x = 3 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    94\frac{9}{4}
  2. B
    254\frac{25}{4}
  3. 414\frac{41}{4}Cevap
  4. D
    4
  5. E
    334\frac{33}{4}

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 414\frac{41}{4} birimkaredir.
Doğru cevap olan değer, fonksiyonun xx-ekseninin altında kalan kısmının alanı (44 birimkare) ile üstünde kalan kısmının alanının (254\frac{25}{4} birimkare) ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla elde edilen 414\frac{41}{4} değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun [0,3][0, 3] aralığındaki işaretini incelemek üzere köklerini bulalım.
x3−4x=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0x^3 - 4x = 0 \implies x(x-2)(x+2) = 0 denkleminden kökler x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Bölgelerin alanlarını hesaplarken fonksiyonun xx-ekseninin altında ve üstünde kald��ğı aralıkları belirlemek gerekir.
2
[0,3][0, 3] aralığında fonksiyonun işaretini belirleyip alanı veren integralleri yazalım.
[0,2][0, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \leq 0 olduğundan alan A1=∫02−f(x) dxA_1 = \int_0^2 -f(x) \, dx ve [2,3][2, 3] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0 olduğundan alan A2=∫23f(x) dxA_2 = \int_2^3 f(x) \, dx olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgenin alanı, belirli integralin negatif işaretlisine eşittir.
3
A1A_1 alanını belirli integral ile hesaplayalım.
A1=∫02−(x3−4x) dx=[−x44+2x2]02=(−4+8)−0=4A_1 = \int_0^2 -(x^3 - 4x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_0^2 = (-4 + 8) - 0 = 4 birimkare bulunur.
İlk bölgenin alan değerini elde etmek için integral kurallarını uygularız.
4
A2A_2 alanını belirli integral ile hesaplayalım.
A2=∫23(x3−4x) dx=[x44−2x2]23=(814−18)−(4−8)=94−(−4)=254A_2 = \int_2^3 (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_2^3 = \left(\frac{81}{4} - 18\right) - (4 - 8) = \frac{9}{4} - (-4) = \frac{25}{4} birimkare bulunur.
İkinci bölgenin alan değerini elde etmek için integral kurallarını uygularız.
5
Toplam alanı bulmak için hesaplanan alanları toplayalım.
A1+A2=4+254=414A_1 + A_2 = 4 + \frac{25}{4} = \frac{41}{4} birimkaredir.
Soruda istenen, sınırlandırılan tüm bölgelerin alanlarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile eğri ve x-ekseni arasında kalan alanların hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru