\left( \frac{4}{\log_{2} 144} + \frac{2}{\log_{3} 144} \right)^{\log_{3} 27} + 5^{\log_{25… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\left( \frac{4}{\log_{2} 144} + \frac{2}{\log_{3} 144} \right)^{\log_{3} 27} + 5^{\log_{25} 64}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 9

İfadenin değeri 9 olarak bulunur.

Verilen ifadenin ilk kısmı taban değiştirme özelliği kullanılarak

\log_{144} (2^4 \cdot 3^2) = \log_{144} 144 = 1

olarak bulunur.

1^{\log_3 27} = 1^3 = 1

elde edilir. İkinci kısım ise

5^{\log_{25} 64} = 5^{\log_5 8} = 8

şeklinde sadeleşir. Bu iki kısmın toplamı

1 + 8 = 9

olur.

Taban değiştirme kuralı olan

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

özelliğini kullanarak paydadaki logaritmaları pay kısmına taşıyın.

\frac{4}{\log_2 144} = 4 \log_{144} 2

\frac{2}{\log_3 144} = 2 \log_{144} 3

ifadeleri elde edilir.

Logaritmik ifadeleri aynı tabanda birleştirebilmek için taban değiştirme özelliğinden yararlanılır.

n \log_a b = \log_a (b^n)

özelliğini kullanarak katsayıları argümana üs olarak getirin.

4 \log_{144} 2 = \log_{144} (2^4) = \log_{144} 16

2 \log_{144} 3 = \log_{144} (3^2) = \log_{144} 9

elde edilir.

Toplama işlemini yapabilmek için logaritmaların önünde katsayı bulunmaması gerekir.

Tabanları aynı olan logaritmaların toplamını, argümanların çarpımı şeklinde yazın:

\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)

\log_{144} 16 + \log_{144} 9 = \log_{144} (16 \cdot 9) = \log_{144} 144 = 1

elde edilir.

Çarpım özelliğini uygulayarak ifade tek bir sayıya indirgenir.

Birinci terimin üssü olan

\log_3 27

ifadesini hesaplayın ve taban değeri olan

1

ile birleştirin. Ardından ikinci terim olan

5^{\log_{25} 64}

ifadesini

a^{\log_a b} = b

özelliğini kullanarak sadeleştirin.

Birinci kısım için

\log_3 27 = 3

olup

1^3 = 1

bulunur. İkinci kısım için

5^{\log_{25} 64} = 5^{\log_{5^2} 8^2} = 5^{\log_5 8} = 8

elde edilir.

Üstel logaritmik ifadeleri sadeleştirerek sayısal değerlerini bulmak amaçlanır.

Elde edilen iki terimin değerlerini toplayın.

1 + 8 = 9

elde edilir.

Soruda istenen toplam ifadesinin nihai sonucuna ulaşılır.

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme ve temel özellikleri yardımıyla üstel ifadelerin sadeleştirilmesi

Soru