Examkin

Soru

Zorluk: ZorArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−5)2(x+3)f'(x) = (x-5)^2(x+3)
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (−∞,1]∪[2,3](-\infty, 1] \cup [2, 3]Cevap
  2. B
    (−∞,−1]∪[1,2]∪[3,5](-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, 5]
  3. C
    [1,3][1, 3]
  4. D
    (−∞,−1]∪[2,3](-\infty, -1] \cup [2, 3]
  5. E
    [1,2]∪[3,∞)[1, 2] \cup [3, \infty)

Cevap

(−∞,1]∪[2,3](-\infty, 1] \cup [2, 3]
Bileşke fonksiyonun türevi alındığında g′(x)=2(x−2)(x−5)2(x+1)2(x−3)(x−1)g'(x) = 2(x-2)(x-5)^2(x+1)^2(x-3)(x-1) elde edilir. İşaret tablosu yapıldığında x=−1x = -1 ve x=5x = 5 çift katlı kökler olduğu için bu noktalarda işaret değişmez. Türevin negatif veya sıfır olduğu bölge (−∞,1]∪[2,3](-\infty, 1] \cup [2, 3] olur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun türevini zincir kuralını kullanarak alalım.
g′(x)=(2x−4)⋅f′(x2−4x)g'(x) = (2x - 4) \cdot f'(x^2 - 4x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.
2
Verilen f′(x)=(x−5)2(x+3)f'(x) = (x-5)^2(x+3) ifadesinde xx yerine x2−4xx^2 - 4x yazarak f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesini elde edip çarpanlarına ayıralım.
f′(x2−4x)=(x2−4x−5)2(x2−4x+3)f'(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x - 5)^2 (x^2 - 4x + 3) olur. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak: f′(x2−4x)=(x−5)2(x+1)2(x−3)(x−1)f'(x^2 - 4x) = (x-5)^2 (x+1)^2 (x-3)(x-1) elde edilir.
Türev fonksiyonunun köklerini ve işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm çarpanları en sade biçimde yazmamız gerekir.
3
g′(x)=2(x−2)(x−5)2(x+1)2(x−3)(x−1)g'(x) = 2(x-2)(x-5)^2(x+1)^2(x-3)(x-1) fonksiyonunun tüm köklerini ve bu köklerin katlılık (tek/çift) durumlarını belirleyelim.
Kökler küçükten büyüğe: x=−1x = -1 (çift katlı), x=1x = 1 (tek katlı), x=2x = 2 (tek katlı), x=3x = 3 (tek katlı), x=5x = 5 (çift katlı) olarak bulunur.
İşaret tablosunda hangi kritik noktalardan geçerken işaretin değişip değişmeyeceğini doğru tespit etmek için köklerin katları belirlenmelidir.
4
g′(x)g'(x) için işaret tablosu hazırlayarak fonksiyonun azalan olduğu aralıkları bulalım.
En sağdaki aralıkta derecesi en büyük terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için (+) ile başlanır. Çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo tamamlanır: x>5x > 5 için (+), 3<x<53 < x < 5 için (+), 2<x<32 < x < 3 için (-), 1<x<21 < x < 2 için (+), −1<x<1-1 < x < 1 için (-), x<−1x < -1 için (-). Dolayısıyla g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olan en geniş aralıklar (−∞,1](-\infty, 1] ve [2,3][2, 3] aralıklarıdır.
Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıklarda fonksiyon azalandır. Sürekli fonksiyonlarda türevin sıfır olduğu izole noktalar azalanlık aralığını bölmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artan ve azalan aralıkların belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru