Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (a_n) aritmetik dizisinde, a_2 + a_{10} = 16 a_5 \cdot a_7 = 60 \neşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, a_1 \cdot a_{11} çarpımının değeri kaçtır?

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (a_n) aritmetik dizisinde, a_2 + a_{10} = 16 a_5 \c… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir

(a_n)

aritmetik dizisinde,

a_2 + a_{10} = 16

a_5 \cdot a_7 = 60

eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre,

a_1 \cdot a_{11}

çarpımının değeri kaçtır?

Cevap: -36

Dizinin birinci terimi ile on birinci teriminin çarpımı -36'dır.

Dizinin terimlerinin indis simetrisi kullanılarak 6. terim

a_6 = 8

ve ortak farkın karesi

r^2 = 4

olarak elde edilir. İstenen

a_1 \cdot a_{11}

çarpım ifadesi de 6. terime göre simetrik yazılıp iki kare farkı uygulandığında

a_6^2 - 25r^2

ifadesine ulaşılır. Değerler yerine yazıldığında sonuç

-36

bulunur.

a_2 + a_{10} = 16

toplamı üzerinden dizinin 6. terimini (

a_6

) belirlemek.

a_6 = 8

Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir.

2 + 10 = 6 + 6

olduğundan

a_2 + a_{10} = 2a_6

eşitliği geçerlidir.

a_5 \cdot a_7 = 60

çarpım eşitliğinden yararlanarak dizinin ortak farkının karesini (

r^2

) bulmak.

r^2 = 4

a_5 = a_6 - r

a_7 = a_6 + r

olarak yazıldığında, çarpımları iki kare farkı oluşturur:

(a_6 - r)(a_6 + r) = a_6^2 - r^2

. Değerler yerine konduğunda

8^2 - r^2 = 60 \implies 64 - r^2 = 60

elde edilir.

İstenen

a_1 \cdot a_{11}

çarpım ifadesini

a_6

r

cinsinden yazmak.

a_1 \cdot a_{11} = a_6^2 - 25r^2

a_1 = a_6 - 5r

a_{11} = a_6 + 5r

ifadelerinin çarpımı iki kare farkı özdeşliği gereği

a_6^2 - (5r)^2 = a_6^2 - 25r^2

sonucunu verir.

Elde edilen

a_6 = 8

r^2 = 4

değerlerini son ifadede yerine yazıp hesaplama yapmak.

-36

a_1 \cdot a_{11} = 8^2 - 25 \cdot 4 = 64 - 100 = -36

olarak hesaplanır.

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre simetrik olarak ifade edilmesi ve iki kare farkı özdeşliği uygulamaları.

Tüm terimleri birinci terim

a_1

ve ortak fark

r

cinsinden yazıp iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak da çözüme ulaşılabilir. Ancak bu yöntem daha fazla işlem adımı ve zaman gerektirir.

Tahmini Süre:2m 0s