Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Her biri 11'den büyük olan aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
log⁡a(b)−6log⁡b(a)=1\log_a(b) - 6\log_b(a) = 1
log⁡b(c2)−log⁡c(b)=3\log_b(c^2) - \log_{\sqrt{c}}(b) = 3
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
log⁡a(c)+log⁡c(a6b2)\log_{\sqrt{a}}(c) + \log_c(a^6 b^2)
ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 14

Cevap

Verilen logaritmik denklemler çözüldüğünde değişkenler arasında b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkileri bulunur. Bu ilişkiler istenen ifadede yerine koyulduğunda sonuç 14 olarak elde edilir.
Verilen denklemler logaritmanın taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak çözüldüğünde b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkileri elde edilir. Bu ilişkiler sorulan ifadede yerine yazıldığında taban ve argümanların kuvvetleri oranlanarak ifadenin sayısal değeri 14 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde taban değiştirme kuralı kullanılarak log⁡a(b)=u\log_a(b) = u dönüşümü yapmak.
u−6u=1  ⟹  u2−u−6=0  ⟹  (u−3)(u+2)=0u - \frac{6}{u} = 1 \implies u^2 - u - 6 = 0 \implies (u-3)(u+2) = 0. a,b>1a, b > 1 olduğundan log⁡a(b)>0\log_a(b) > 0 olmalıdır. Buradan u=3u = 3, yani log⁡a(b)=3  ⟹  b=a3\log_a(b) = 3 \implies b = a^3 elde edilir.
bb ile aa arasındaki üssü ilişkiyi bularak değişken sayısını azaltmak.
2
İkinci denklemde logaritma özelliklerini uygulayarak log⁡b(c)=v\log_b(c) = v dönüşümü yapmak.
2log⁡b(c)−2log⁡c(b)=3  ⟹  2v−2v=3  ⟹  2v2−3v−2=0  ⟹  (2v+1)(v−2)=02\log_b(c) - 2\log_c(b) = 3 \implies 2v - \frac{2}{v} = 3 \implies 2v^2 - 3v - 2 = 0 \implies (2v+1)(v-2) = 0. b,c>1b, c > 1 olduğundan log⁡b(c)>0\log_b(c) > 0 olmalıdır. Buradan v=2v = 2, yani log⁡b(c)=2  ⟹  c=b2\log_b(c) = 2 \implies c = b^2 elde edilir. b=a3b = a^3 yazıldığında c=a6c = a^6 olur.
cc ile bb (ve dolayısıyla aa) arasındaki ilişkiyi kurmak.
3
Elde edilen b=a3b = a^3 ve c=a6c = a^6 ilişkilerini istenen ifadede yerine yazıp hesaplamak.
log⁡a(c)+log⁡c(a6b2)=log⁡a1/2(a6)+log⁡a6(a6⋅(a3)2)=61/2+log⁡a6(a12)=12+126=12+2=14\log_{\sqrt{a}}(c) + \log_c(a^6 b^2) = \log_{a^{1/2}}(a^6) + \log_{a^6}(a^6 \cdot (a^3)^2) = \frac{6}{1/2} + \log_{a^6}(a^{12}) = 12 + \frac{12}{6} = 12 + 2 = 14 bulunur.
İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun log⁡x(y)=1log⁡y(x)\log_x(y) = \frac{1}{\log_y(x)} özelliği, log⁡xn(ym)=mnlog⁡x(y)\log_{x^n}(y^m) = \frac{m}{n}\log_x(y) kuralı ve taban/argüman sınırlamalarına göre logaritmanın işaretinin belirlenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru