Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
x2−xy+y2=7x2+y2−x−y=8\begin{aligned} x^2 - xy + y^2 &= 7 \\ x^2 + y^2 - x - y &= 8 \end{aligned} denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

Denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx+y toplamının alabileceği pozitif değer 5'tir.
Denklem sisteminde x+y=ux+y = u ve x⋅y=vx \cdot y = v dönüşümleri yapıldığında, x2−xy+y2=u2−3v=7x^2 - xy + y^2 = u^2 - 3v = 7 ve x2+y2−(x+y)=u2−2v−u=8x^2 + y^2 - (x+y) = u^2 - 2v - u = 8 denklemleri elde edilir. Buradan vv çekilip ikinci denklemde yerine yazıldığında elde edilen u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 denkleminin kökleri 55 ve −2-2 olup, pozitif olan değer 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
x+y=ux+y = u ve x⋅y=vx \cdot y = v dönüşümleri yapılarak x2+y2x^2+y^2 ve x2−xy+y2x^2-xy+y^2 ifadeleri uu ve vv cinsinden yazılır.
x2+y2=u2−2vx^2+y^2 = u^2-2v ve x2−xy+y2=u2−3vx^2-xy+y^2 = u^2-3v elde edilir.
Denklem sistemini iki bilinmeyenli daha basit bir sisteme dönüştürmek için.
2
Elde edilen ifadeler denklem sisteminde yerine yazılır.
u2−3v=7u^2 - 3v = 7 ve u2−2v−u=8u^2 - 2v - u = 8 denklem sistemi elde edilir.
Sistemi çözmek için değişkenleri yerine koymak gerekir.
3
Birinci denklemden vv çekilerek ikinci denklemde yerine yazılır.
v=u2−73v = \frac{u^2-7}{3} ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında u2−2(u2−73)−u=8u^2 - 2\left(\frac{u^2-7}{3}\right) - u = 8 denklemi elde edilir.
Sistemden vv değişkenini yok edip tek değişkenli bir denklem elde etmek için.
4
Denklem paydadan kurtarılarak düzenlenir.
u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Denklemi standart formda yazıp çözebilmek için.
5
u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılır.
(u−5)(u+2)=0(u-5)(u+2) = 0 elde edilir, buradan u=5u = 5 veya u=−2u = -2 bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için.
6
u=x+yu = x+y olduğundan elde edilen uu değerleri incelenir.
x+yx+y toplamı 55 veya −2-2 olabilir. Pozitif değer sorulduğu için 55 seçilir.
Soruda bizden istenen pozitif x+yx+y değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin değişken değiştirme ve özdeşlikler yardımıyla çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Bu konudan daha fazla soru