Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
x2−xy+y2=7x2+y2−x−y=8\begin{aligned} x^2 - xy + y^2 &= 7 \\ x^2 + y^2 - x - y &= 8 \end{aligned} denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

Denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx+y toplamının alabileceği pozitif değer 5'tir.
Denklem sisteminde x+y=ux+y = u ve x⋅y=vx \cdot y = v dönüşümleri yapıldığında, x2−xy+y2=u2−3v=7x^2 - xy + y^2 = u^2 - 3v = 7 ve x2+y2−(x+y)=u2−2v−u=8x^2 + y^2 - (x+y) = u^2 - 2v - u = 8 denklemleri elde edilir. Buradan vv çekilip ikinci denklemde yerine yazıldığında elde edilen u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 denkleminin kökleri 55 ve −2-2 olup, pozitif olan değer 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
x+y=ux+y = u ve x⋅y=vx \cdot y = v dönüşümleri yapılarak x2+y2x^2+y^2 ve x2−xy+y2x^2-xy+y^2 ifadeleri uu ve vv cinsinden yazılır.
x2+y2=u2−2vx^2+y^2 = u^2-2v ve x2−xy+y2=u2−3vx^2-xy+y^2 = u^2-3v elde edilir.
Denklem sistemini iki bilinmeyenli daha basit bir sisteme dönüştürmek için.
2
Elde edilen ifadeler denklem sisteminde yerine yazılır.
u2−3v=7u^2 - 3v = 7 ve u2−2v−u=8u^2 - 2v - u = 8 denklem sistemi elde edilir.
Sistemi çözmek için değişkenleri yerine koymak gerekir.
3
Birinci denklemden vv çekilerek ikinci denklemde yerine yazılır.
v=u2−73v = \frac{u^2-7}{3} ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında u2−2(u2−73)−u=8u^2 - 2\left(\frac{u^2-7}{3}\right) - u = 8 denklemi elde edilir.
Sistemden vv değişkenini yok edip tek değişkenli bir denklem elde etmek için.
4
Denklem paydadan kurtarılarak düzenlenir.
u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Denklemi standart formda yazıp çözebilmek için.
5
u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılır.
(u−5)(u+2)=0(u-5)(u+2) = 0 elde edilir, buradan u=5u = 5 veya u=−2u = -2 bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için.
6
u=x+yu = x+y olduğundan elde edilen uu değerleri incelenir.
x+yx+y toplamı 55 veya −2-2 olabilir. Pozitif değer sorulduğu için 55 seçilir.
Soruda bizden istenen pozitif x+yx+y değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin değişken değiştirme ve özdeşlikler yardımıyla çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri