Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği, xx-eksenini yalnızca x=−2x = -2 ve x=3x = 3 noktalarında kesen kolları yukarı doğru bir paraboldür.

g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x)

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklardan biri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [−1,1][-1, 1]Cevap
  2. B
    [1,3][1, 3]
  3. C
    (−∞,−1](-\infty, -1]
  4. D
    [−2,0][-2, 0]
  5. E
    [0,2][0, 2]

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin işaret tablosu oluşturulduğunda, fonksiyonun artan olduğu aralıklardan biri [−1,1][-1, 1] kapalı aralığıdır.
Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−1)f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1)f'(x^2-2x) ifadesinin işaret tablosu incelendiğinde; x=−1x = -1, x=1x = 1 ve x=3x = 3 noktaları kritik noktalardır. Bu tablonun pozitif işaretli olduğu en geniş aralıklardan biri [−1,1][-1, 1] kapalı aralığıdır. Dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artandır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi zincir kuralı kullanılarak alınır.
g′(x)=(2x−2)⋅f′(x2−2x)g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)
Bileşke fonksiyonun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonu elde edilmelidir.
2
Türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.
x=1x = 1, x=−1x = -1 ve x=3x = 3
2(x−1)=0⇒x=12(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1 olur. Grafik kolları yukarı doğru olan ve xx-eksenini sadece −2-2 ve 33 noktalarında kesen bir parabol olduğundan, f′(u)=0⇒u=−2f'(u) = 0 \Rightarrow u = -2 veya u=3u = 3 olmalıdır. Buradan x2−2x=−2⇒x2−2x+2=0x^2 - 2x = -2 \Rightarrow x^2 - 2x + 2 = 0 denkleminin gerçel kökü yoktur (Δ<0\Delta < 0). Diğer taraftan x2−2x=3⇒x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 denkleminden x=−1x = -1 ve x=3x = 3 kökleri bulunur.
3
g′(x)g'(x) için işaret tablosu hazırlanır.
x<−1x < -1 için g′(x)<0g'(x) < 0, −1<x<1-1 < x < 1 için g′(x)>0g'(x) > 0, 1<x<31 < x < 3 için g′(x)<0g'(x) < 0 ve x>3x > 3 için g′(x)>0g'(x) > 0 bulunur.
f′(t)f'(t) fonksiyonu, kolları yukarı doğru olan ve kökleri −2-2 ile 33 olan bir parabol olduğundan t>3t > 3 için pozitif, −2<t<3-2 < t < 3 için negatiftir. Buradan x>3x > 3 için x2−2x>3⇒f′(x2−2x)>0x^2-2x > 3 \Rightarrow f'(x^2-2x) > 0 ve 2(x−1)>02(x-1) > 0 olup türev pozitiftir. Diğer aralıklar da benzer şekilde çarpanların işaretleri incelenerek doldurulur.
4
Türevin pozitif veya sıfır oldu��u aralıklar artan aralıklar olarak belirlenir.
gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıklar [−1,1][-1, 1] ve [3,∞)[3, \infty) olarak tespit edilir.
Bir fonksiyon türevinin pozitif olduğu aralıklarda artandır. Seçeneklerde verilen aralıklardan [−1,1][-1, 1] bu aralıklardan biridir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan oldukları aralıkların bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru