Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=3x2−12x+9f(x) = 3x^2 - 12x + 9 fonksiyonu veriliyor. Buna göre; y=f(x)y = f(x) eğrisi, xx-ekseni ile x=0x = 0 ve x=4x = 4 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. C
    8
  4. 12Cevap
  5. E
    16

Cevap

Toplam alan 12 birimkaredir.
Doğru cevap 12'dir. Fonksiyon [0,4][0, 4] aralığında sırasıyla [0,1][0, 1] aralığında pozitif, [1,3][1, 3] aralığında negatif ve [3,4][3, 4] aralığında pozitif değerler almaktadır. Alan hesabı yapılırken bu bölgelerin integral değerleri sırasıyla 44, −4-4 ve 44 olarak bulunur. Negatif olan bölgenin alanı mutlak değerce alınarak (∣−4∣=4|-4| = 4) tüm alanlar toplandığında 4+4+4=124 + 4 + 4 = 12 birimkare elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun xx-eksenini kestiği noktaları (kökleri) bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemi çözülür.
3x2−12x+9=0  ⟹  3(x−1)(x−3)=03x^2 - 12x + 9 = 0 \implies 3(x-1)(x-3) = 0 denkleminin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Verilen sınır değerleri (x=0x = 0 ve x=4x = 4) arasında fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları belirlemek gerekir.
2
Bulunan köklere göre [0,4][0, 4] aralığında fonksiyonun işaret tablosu incelenir.
[0,1][0, 1] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0, [1,3][1, 3] aralığında f(x)≤0f(x) \leq 0 ve [3,4][3, 4] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0 olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanlarını hesaplarken integral değerinin önüne eksi işareti koyulmalıdır.
3
Sınırlı bölgelerin alanları toplamını veren belirli integral ifadesi yazılır.
Alan=∫01(3x2−12x+9) dx−∫13(3x2−12x+9) dx+∫34(3x2−12x+9) dxAlan = \int_{0}^{1} (3x^2 - 12x + 9) \, dx - \int_{1}^{3} (3x^2 - 12x + 9) \, dx + \int_{3}^{4} (3x^2 - 12x + 9) \, dx
Belirli integralde eğrinin altında kalan alan pozitif bir değer olması gerektiğinden, negatif değerli bölgenin integrali eksi ile çarpılarak eklenir.
4
Belirsiz integral alınarak F(x)=x3−6x2+9xF(x) = x^3 - 6x^2 + 9x ilkel fonksiyonu yardımıyla her bir bölgenin belirli integral değeri hesaplanır.
F(1)−F(0)=4−0=4F(1) - F(0) = 4 - 0 = 4, F(3)−F(1)=0−4=−4F(3) - F(1) = 0 - 4 = -4 ve F(4)−F(3)=4−0=4F(4) - F(3) = 4 - 0 = 4 elde edilir.
Belirli integral sınırları yerlerine yazılıp sayısal değerler hesaplanır.
5
Hesaplanan değerler mutlak değerce toplanarak toplam alan bulunur.
Alan=4+∣−4∣+4=12Alan = 4 + |-4| + 4 = 12 birimkare.
Üç ayrı bölgenin alanları toplanarak toplam kapalı bölge alanı elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki sınır arasında kalan ve x-ekseniyle sınırlanan bölgelerin alanlarının hesabı.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru