Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=13x3−a+12x2+ax+7f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax + 7
fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığın uzunluğu 66 birim olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevap: 7

Cevap

Pozitif a değeri 7'dir.
Verilen fonksiyonun türevi f'(x) = x^2 - (a+1)x + a = (x-1)(x-a) şeklindedir. Türevin işaret tablosunda negatif olduğu bölge azalanlığı belirler ve bu bölge 1 ile a kökleri arasındadır. Kökler arası mesafe aralığın uzunluğuna eşit olup |a-1| = 6 denkleminden a'nın pozitif değeri 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun bulunması
f'(x) = x^2 - (a+1)x + a
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için öncelikle fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
Türevin köklerinin bulunması
x_1 = 1 ve x_2 = a
Türevin işaret değiştirdiği kritik noktaları belirlemek için türev fonksiyonu sıfıra eşitlenir.
3
Azalanlık aralığı ve uzunluğunun ifadesi
Aralık uzunluğu = |a - 1|
Baş katsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir türev fonksiyonu kökler arasında negatif değer alır. Bu nedenle azalan olduğu en geniş aralığın sınırları türevin kökleridir.
4
a parametresinin alabileceği değerlerin hesabı
a = 7 veya a = -5
|a - 1| = 6 mutlak değer eşitliği çözülerek a'nın olası değerleri bulunur.
5
Pozitif değerin seçilmesi
a = 7
Soruda a gerçel sayısının pozitif değeri istendiği için negatif olan -5 değeri elenerek 7 değeri seçilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık, türevinin sıfırdan küçük veya eşit (f'(x) <= 0) olduğu aralıktır. İkinci dereceden türev fonksiyonlarında bu aralığın uzunluğu kökler arasındaki farkın mutlak değerine eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru