Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonunun türevi, x∈R∖{2,4}x \in \mathbb{R} \setminus \{2, 4\} için
f′(x)=(x−1)2(x−3)(x−4)(x−2)(x−4)2f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3) (x-4)}{(x-2) (x-4)^2}
olarak verilmiştir.
Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
  1. A
    3
  2. B
    5
  3. C
    7
  4. 9Cevap
  5. E
    10

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 9'dur.
Fonksiyon gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu için türevinin işaret değiştirdiği her noktada yerel ekstremum vardır. Türev fonksiyonunun sadeleşmiş hali olan f′(x)=(x−1)2(x−3)(x−2)(x−4)f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3)}{(x-2)(x-4)} ifadesinin işaret tablosu yapıldığında x=2x = 2, x=3x = 3 ve x=4x = 4 noktalarında işaret değişimi olduğu görülür. Dolayısıyla bu üç nokta yerel ekstremum noktasıdır ve apsisleri toplamı 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun kritik noktalarını belirleme.
Kritik noktalar x=1x = 1, x=2x = 2, x=3x = 3 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevinin işaret değiştirdiği noktalarda oluşabileceğinden, önce türevi sıfır yapan veya tanımsız yapan değerler tespit edilir.
2
Türev fonksiyonunun sadeleşmiş halini ve işaret durumunu analiz etme.
x≠4x \neq 4 i��in türev ifadesi f′(x)=(x−1)2(x−3)(x−2)(x−4)f'(x) = \frac{(x-1)^2 (x-3)}{(x-2)(x-4)} halini alır.
Sadeleştirme işlemi, işaret tablosunun daha rahat incelenmesini sağlar. Ancak paydada sadeleşen terimin çift/tek katlılık durumuna göre etkisi unutulmamalıdır.
3
Türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturma.
Türevin işaret tablosuna göre; (−∞,1)(-\infty, 1) aralığında negatif, (1,2)(1, 2) aralığında negatif (işaret değişmedi), (2,3)(2, 3) aralığında pozitif (işaret değişti), (3,4)(3, 4) aralığında negatif (işaret değişti), (4,∞)(4, \infty) aralığında pozitif (işaret değişti) olur.
Türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek yerel ekstremum noktalarını bulmak için gereklidir.
4
Süreklilik şartı altında yerel ekstremum noktalarını belirleyip apsisleri toplama.
Türevin işaret değiştirdiği x=2x = 2, x=3x = 3 ve x=4x = 4 noktaları yerel ekstremum noktalarıdır. Toplamları 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9 olur.
ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan, türevinin tanımlı olmadığı x=2x=2 ve x=4x=4 noktalarında da türev işaret değiştirdiği için bu noktalar yerel ekstremumdur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun sürekli olduğu noktalarda türevinin işaret değiştirmesi, o noktanın yerel ekstremum noktası olması için yeterlidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru