Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den farklı aa, bb ve cc pozitif gerçel sayıları için,
log⁡a(b⋅c)=2\log_a(b \cdot c) = 2
log⁡b(a⋅c)=5\log_b(a \cdot c) = 5
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.
Taban değiştirme kuralı yardımıyla tüm logaritmik ifadeler ortak bir tabana çevrildiğinde elde edilen doğrusal denklem sistemi çözülerek değişkenler arasındaki oranlar bulunur. Bu oranlar istenen ifadede yerine yazıldığında sadeleşme gerçekleşir ve sonuç 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak log⁡a(b⋅c)=2\log_a(b \cdot c) = 2 ve log⁡b(a⋅c)=5\log_b(a \cdot c) = 5 ifadelerini açın.
log⁡ab+log⁡ac=2\log_a b + \log_a c = 2 ve log⁡ba+log⁡bc=5\log_b a + \log_b c = 5 denklemleri elde edilir.
Çarpımın logaritmasını toplam şeklinde yazarak değişkenleri ayırmak için.
2
Taban değiştirme kuralını uygulayarak tüm ifadeleri doğal logaritma (ln) tabanına dönüştürün ve ln⁡a=x\ln a = x, ln⁡b=y\ln b = y, ln⁡c=z\ln c = z değişkenlerini tanımlayın.
y+z=2xy + z = 2x ve x+z=5yx + z = 5y denklem sistemi elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabanda birleştirip doğrusal denklem sistemine dönüştürmek için.
3
İkinci denklemden zz'yi çekip birinci denklemde yerine yazarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi bulun.
z=5y−x  ⟹  y+(5y−x)=2x  ⟹  6y=3x  ⟹  x=2yz = 5y - x \implies y + (5y - x) = 2x \implies 6y = 3x \implies x = 2y bulunur. Buradan z=3yz = 3y elde edilir.
Denklem sistemini çözerek tüm değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.
4
İstenen log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b) ifadesini ln tabanına dönüştürün ve bulduğunuz x=2yx = 2y ile z=3yz = 3y değerlerini yerine yazın.
log⁡c(a⋅b)=ln⁡a+ln⁡bln⁡c=x+yz=2y+y3y=1\log_c(a \cdot b) = \frac{\ln a + \ln b}{\ln c} = \frac{x + y}{z} = \frac{2y + y}{3y} = 1 bulunur.
Aranan ifadenin sayısal değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun çarpım ve taban değiştirme özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru