x ve y birden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \log_3 x \cdot \log_y 3 = 2 x \cdot y^3 = 243\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \log_x(y^4) + \log_y(x^3) ifadesinin değeri kaçtır?

x ve y birden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \log_3 x \cdot \log_y 3 = 2 x \cd… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x

y

birden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

\log_3 x \cdot \log_y 3 = 2

x \cdot y^3 = 243

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $\log_x(y^4) + \log_y(x^3)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 8

İstenen logaritmik ifadenin değeri 8'dir.

Taban değiştirme kuralına göre

\log_3 x \cdot \log_y 3 = \log_y x = 2

elde edilir. Bu durumda

x = y^2

olur. İkinci denklemde yerine yazıldığında

y^2 \cdot y^3 = y^5 = 243

bağıntısından

y = 3

x = 9

bulunur. İstenen ifadede değerler yerine yazıldığında

\log_9(3^4) + \log_3(9^3) = \log_{3^2}(3^4) + \log_3(3^6) = 2 + 6 = 8

sonucu elde edilir.

Birinci denklemde taban değiştirme özelliğini kullanarak

x

ile

y

arasındaki ilişkiyi belirleyin.

\log_y x = 2 \implies x = y^2

elde edilir.

\log_a b \cdot \log_c a = \log_c b

özelliğinden yararlanarak çarpım durumundaki ifadeleri sadeleştirmek için.

x = y^2

eşitliğini ikinci denklemde yerine yazarak

y

x

değerlerini bulun.

y^5 = 243 \implies y = 3

ve buradan

x = 9

bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli üslü denkleme dönüştürüp çözmek için.

Bulunan değerleri

\log_x(y^4) + \log_y(x^3)

ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayın.

\log_9(81) + \log_3(729) = 2 + 6 = 8

bulunur.

Logaritmanın üs özelliklerini kullanarak terimleri sayısal değerlere dönüştürmek için.

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme