Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    0
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. 8Cevap
  5. E
    12

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Doğru yanıt olan değer, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x eğrisinin xx-eksenini kestiği sınır noktaları olan −2,0,2-2, 0, 2 değerlerine göre iki ayrı bölge halinde hesaplanan alanların toplamıdır. [−2,0][-2, 0] aralığındaki alan 4 birimkare ve [0,2][0, 2] aralığındaki alan 4 birimkare olup toplamda 8 birimkare yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun grafiğinin xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemini çözelim.
x(x−2)(x+2)=0x(x-2)(x+2) = 0 denkleminden kökler x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Bu noktalar, integral hesaplamasında kullanacağımız sınırları ve bölgelerin sınırlarını belirler.
2
Fonksiyonun bu aralıklardaki işaretini inceleyerek hangi bölgenin xx-ekseninin üstünde, hangisinin altında kaldı��ını belirleyelim.
[−2,0][-2, 0] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0 (eksenin üstünde) ve [0,2][0, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \leq 0 (eksenin altında) olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanını hesaplarken integralin önüne eksi işareti koymamız gerekir.
3
Belirli integral yardımıyla alanları ayrı ayrı hesaplayalım.
[−2,0][-2, 0] aralığındaki alan A1=∫−20(x3−4x) dx=[x44−2x2]−20=4A_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = 4 birimkare. [0,2][0, 2] aralığındaki alan A2=∫02−(x3−4x) dx=[−x44+2x2]02=4A_2 = \int_{0}^{2} -(x^3 - 4x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_{0}^{2} = 4 birimkaredir.
Her iki bölgenin alanını pozitif değerler olarak bulmak için integral işaretlerine dikkat edilmelidir.
4
Bulunan alan değerlerini toplayalım.
Atoplam=A1+A2=4+4=8A_{toplam} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8 birimkare elde edilir.
Eğri ile xx-ekseni arasında kalan toplam sınırlı alanı bulmak için tüm alt alanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile alan hesabı yapılırken, xx-ekseninin altında kalan bölgelerin integral değerinin negatif çıkacağı göz önünde bulundurulmalı ve bu alanlar pozitif olacak şekilde integralin önüne eksi işareti getirilmelidir.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun tek fonksiyon (f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)) olduğu fark edilirse, [−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki bölgelerin alanlarının simetriden dolayı eşit olduğu görülür. Bu durumda sadece bir bölgenin alanını hesaplayıp 2 ile çarpmak süreyi kısaltır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru