Examkin

Soru

Zorluk: ZorYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=∣x2−4x∣−axf(x) = |x^2 - 4x| - ax
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı 11 olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    (−∞,−2]∪[2,∞)(-\infty, -2] \cup [2, \infty)
  2. B
    [−4,4][-4, 4]
  3. (−∞,−4]∪[4,∞)(-\infty, -4] \cup [4, \infty)Cevap
  4. D
    [−2,2][-2, 2]
  5. E
    (−∞,−4)∪(4,∞)(-\infty, -4) \cup (4, \infty)

Cevap

En geniş değer aralığı (−∞,−4]∪[4,∞)(-\infty, -4] \cup [4, \infty) aralığıdır.
Fonksiyonun parçalı tanımından elde edilen parabollerin tepe noktaları incelendiğinde, a≥4a \ge 4 veya a≤−4a \le -4 koşulu sağlandığında iç bölgedeki parabolün tepe noktası (0,4)(0,4) aralığının dışına taşar. Bu durumda sınır noktalarında yön değişimi gerçekleşmez ve fonksiyon tüm gerçel sayılar kümesinde yalnızca tek bir yerel minimum noktasına sahip olur. Dolayısıyla doğru aralık bu iki kümenin birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer ifadesinin kritik noktaları olan x=0x=0 ve x=4x=4 değerlerine göre fonksiyon parçalı tanımlı olarak yazılır.
f(x)={x2−(4+a)x,x<0 veya x>4−x2+(4−a)x,0≤x≤4f(x) = \begin{cases} x^2 - (4+a)x, & x < 0 \text{ veya } x > 4 \\ -x^2 + (4-a)x, & 0 \le x \le 4 \end{cases}
Fonksiyonun farklı bölgelerdeki davranışını ve türevlenebilen parçalarını ayrı ayrı analiz etmek amacıyla parçalı biçime dönüştürülmüştür.
2
Parçalı fonksiyonun tanımlı olduğu aralıklardaki türev fonksiyonları ve ekstremum adayı olan tepe noktaları belirlenir.
x<0x < 0 ve x>4x > 4 bölgeleri için f′(x)=2x−(4+a)f'(x) = 2x - (4+a) olup tepe noktası x1=4+a2x_1 = \frac{4+a}{2}'dir. 0<x<40 < x < 4 bölgesi için f′(x)=−2x+(4−a)f'(x) = -2x + (4-a) olup tepe noktası x2=4−a2x_2 = \frac{4-a}{2}'dir.
Her bir parabolik parçanın tepe noktasının kendi tanımlı olduğu aralığa düşüp düşmediğini kontrol ederek ekstremum noktalarının varlığını incelemek gerekir.
3
a≥4a \ge 4 koşulu altında fonksiyonun ekstremum noktaları incelenir.
a≥4a \ge 4 için x2=4−a2≤0x_2 = \frac{4-a}{2} \le 0 olur, dolayısıyla (0,4)(0,4) aralığında tepe noktası bulunmaz. Bu aralıkta f′(x)<0f'(x) < 0 olup fonksiyon azalandır. x>4x > 4 bölgesinde ise x1=4+a2≥4x_1 = \frac{4+a}{2} \ge 4 olduğundan bu noktada azalandan artana geçiş olur. Sonuç olarak yalnızca x1x_1 apsisli nokta tek yerel minimum noktasıdır.
Belirlenen parametre sınırında fonksiyonun yalnızca bir yerel ekstremuma sahip olduğunu doğrulamak için bu analiz yapılır.
4
a≤−4a \le -4 koşulu altında fonksiyonun ekstremum noktaları incelenir.
a≤−4a \le -4 için x2=4−a2≥4x_2 = \frac{4-a}{2} \ge 4 olur, yani (0,4)(0,4) aralığında tepe noktası yoktur ve bu aralıkta fonksiyon artandır. x<0x < 0 bölgesinde ise x1=4+a2≤0x_1 = \frac{4+a}{2} \le 0 olup fonksiyon bu noktada azalandan artana geçer. Böylece yalnızca x1x_1 noktası tek yerel minimum noktası olur.
Negatif yöndeki parametre sınırında da tek ekstremum koşulunun sağlandığını göstermek için bu analiz yapılır.
5
Elde edilen iki durum birleştirilerek aa parametresinin en geniş aralığı yazılır.
a∈(−∞,−4]∪[4,∞)a \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)
Her iki bölgede de tek yerel ekstremum noktası şartı sağlandığından bu iki kümenin birleşimi en geniş çözüm kümesini oluşturur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ve parçalı tanımlı fonksiyonlarda türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru