Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ve g(x) = \… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ ve $g(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ fonksiyonları veriliyor.

$h(x) = (f \circ g)(2x)$

olduğuna göre, $h'(1)$ değeri kaçtır?

Cevap: 12

Doğru cevap 12'dir.

Doğru cevap 12'dir. Zincir kuralı uygulandığında

h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2

elde edilir. İlgili fonksiyonların değerleri hesaplandığında

g(2) = 3

g'(2) = \frac{2}{3}

f'(3) = 9

bulunur. Bu değerlerin çarpımı

9 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = 12

sonucunu verir.

Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralını uygulayın.

h'(x) = f'(g(2x)) \cdot g'(2x) \cdot 2

Zincir kuralı gereği, dıştaki fonksiyonun türevi alınırken içteki ifadelerin türevleri sırasıyla çarpım olarak eklenir.

g(2)

g'(2)

değerlerini hesaplayın.

g(2) = 3

g'(2) = \frac{2}{3}

g(x) = \sqrt{x^2+5}

fonksiyonunda

x=2

yazılır ve fonksiyonun türevi alınarak türevinde de

x=2

yazılır.

f'(3)

değerini hesaplayın.

f'(3) = 9

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2

fonksiyonunun türevi olan

f'(x) = 3x^2 - 6x

ifadesinde

x = g(2) = 3

yazılır.

Elde edilen değerleri yerine koyarak sonucu hesaplayın.

h'(1) = 12

h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 = 9 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = 12

elde edilir.

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Soru