Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
log⁡2x−2log⁡x8=5 \log_2 x - 2\log_x 8 = 5 eşitliğini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevap: 32

Cevap

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı 32'dir.
Verilen denklemde taban değiştirme kuralı uygulanıp log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yapıldığında t2−5t−6=0t^2 - 5t - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri t=6t = 6 ve t=−1t = -1 olduğundan, xx değerleri sırasıyla 26=642^6 = 64 ve 2−1=1/22^{-1} = 1/2 olur. Bu iki değerin çarpımı bize 32 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın üs ve taban değiştirme özelliklerini uygulayarak denklemi tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
log⁡2x−6log⁡2x=5\log_2 x - \frac{6}{\log_2 x} = 5
log⁡x8=3log⁡x2\log_x 8 = 3\log_x 2 eşitliği ve taban değiştirme kuralı olan log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} bağıntısı kullanılarak ortak bir log⁡2x\log_2 x terimi elde edilmiştir.
2
log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yaparak ikinci dereceden denklemi kurmak ve çözmek.
t2−5t−6=0  ⟹  t1=6,t2=−1t^2 - 5t - 6 = 0 \implies t_1 = 6, \quad t_2 = -1
Denklemi çözülebilir bir polinom formuna getirmek ve kök değerlerini saptamak amacıyla bu dönü��üm yapılmıştır.
3
Kökleri orijinal değişkene dönüştürmek, tanımlılık kontrolü yapmak ve köklerin çarpımını bulmak.
x1=64,x2=12  ⟹  x1⋅x2=32x_1 = 64, \quad x_2 = \frac{1}{2} \implies x_1 \cdot x_2 = 32
tt değerleri yerine yazılarak xx değerleri bulunmuş ve bu değerlerin çarpımı elde edilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternatif Yöntem

Denklemde taban değiştirme kuralı doğrudan uygulanmadan her iki taraf log⁡2x\log_2 x ile çarpılarak (log⁡2x)2−5log⁡2x−6=0(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x - 6 = 0 biçiminde de yazılabilir. Bu durumda doğrudan log⁡2x\log_2 x ifadesine bağlı çarpanlara ayırma yapılarak kökler bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru