Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x3−3x2−9x+4f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. 5Cevap
  5. E
    6

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının sayısı 5'tür.
Doğru cevap 5 olan seçenektir. Çünkü g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonu x=−5,−1,0,1,5x = -5, -1, 0, 1, 5 noktalarında yerel ekstremum değerleri alır. x=0x = 0 noktasında türev tanımlı olmamasına karşın fonksiyon süreklidir ve bu noktada yerel minimum değerine ulaşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevi alınır ve kritik noktaları belirlenir.
f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1) = 0 denkleminden kritik noktalar x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türev sıfırdır ve işaret değiştirir.
2
f′(x)f'(x) ifadesinin işaret tablosuna göre ekstremum türleri incelenir.
x=−1x = -1 noktası yerel maksimum, x=3x = 3 noktası ise yerel minimum noktasıdır.
Türev tablosunda x=−1x = -1 noktasında türevin işareti artıdan eksiye (artanlıktan azalanlığa), x=3x = 3 noktasında ise eksiden artıya (azalanlıktan artanlığa) geçmektedir.
3
g(x)=f(∣x∣−2)g(x) = f(|x| - 2) fonksiyonunun çift fonksiyon özelliği kullanılarak pozitif bölgedeki ekstremumları aranır.
x>0x > 0 için g(x)=f(x−2)g(x) = f(x-2) olur. Bu durumda yerel ekstremum adayları x−2=−1  ⟹  x=1x-2 = -1 \implies x = 1 ve x−2=3  ⟹  x=5x-2 = 3 \implies x = 5 noktalarıdır. Her iki nokta da pozitif bölgede yer alır. Çift fonksiyon simetrisi sebebiyle negatif bölgede de x=−1x = -1 ve x=−5x = -5 noktaları ekstremumdur.
g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik olduğundan pozitif taraftaki ekstremumların simetriği negatif tarafta da mevcuttur.
4
x=0x = 0 noktasındaki yerel ekstremum durumu incelenir.
x=0x = 0 civarında ∣x∣−2≥−2|x| - 2 \ge -2 olur. f(u)f(u) fonksiyonunun [−2,−1][-2, -1] aralığındaki türevi pozitif olduğundan bu aralıkta artandır. Bu nedenle x=0x = 0 civarında g(x)=f(∣x∣−2)≥f(−2)=g(0)g(x) = f(|x|-2) \ge f(-2) = g(0) eşitsizliği sağlanır. Bu durum x=0x = 0 noktasının bir yerel minimum noktası olduğunu gösterir.
Bir noktanın yerel ekstremum olması için o noktada türevin tanımlı olması zorunlu değildir. Fonksiyon sürekli ise o noktada yön değiştirmesi yeterlidir.
5
Tüm yerel ekstremum noktalarının sayısı toplanır.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri x=−5,−1,0,1,5x = -5, -1, 0, 1, 5 olmak üzere toplam 5 tanedir.
Bulunan bu 5 nokta da yerel ekstremum tanımını eksiksiz karşılar.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içeren bileşke fonksiyonlarda türevlenebilirliğin olmadığı sivri (kırılma) noktalarda yerel ekstremum bulunabilmesi ve simetri özelliklerinin analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru