Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot
Dik koordinat düzleminde, a>0a > 0, b>0b > 0 ve c∈[0,π)c \in [0, \pi) olmak üzere,
f(x)=acos⁡(bx+c)+df(x) = a \cos(bx + c) + d
fonksiyonunun grafiğiyle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Grafiğin yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 33'tür.
- Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 55, en küçük değer ise −1-1'dir.
- Fonksiyonun esas periyodu π\pi radyandır.

Buna göre, f(π12)f\left(\frac{\pi}{12}\right) değeri kaçtır?

  1. A
    4+3+222\frac{4 + \sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2}
  2. B
    4−3+222\frac{4 - \sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2}
  3. 4+3−222\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}Cevap
  4. D
    4−3−222\frac{4 - \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}
  5. E
    4+23−22\frac{4 + 2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}

Cevap

4+3−222\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}
Fonksiyonun en büyük değeri a+d=5a + d = 5 ve en küçük değeri −a+d=−1-a + d = -1 denklemlerinden a=3a = 3 ve d=2d = 2 bulunur. Periyodun π\pi olmasından b=2b = 2 elde edilir. Grafiğin yy eksenini kestiği nokta olan (0,3)(0, 3) değeri fonksiyonda yerine yazıldığında 3cos⁡(c)+2=3⇒cos⁡(c)=1/33\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = 1/3 bulunur. c∈[0,π)c \in [0, \pi) olduğundan sin⁡(c)=223\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3} olur. f(π/12)=3cos⁡(π/6+c)+2f(\pi/12) = 3\cos(\pi/6 + c) + 2 ifadesi kosinüs toplam formülü yardımıyla açıldığında 4+3−222\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genlik ve düşey öteleme katsayılarını (aa ve dd) belirleme
a+d=5a + d = 5 ve −a+d=−1-a + d = -1 denklem sisteminden d=2d = 2 ve a=3a = 3 bulunur.
a>0a > 0 olduğu için cos⁡(bx+c)\cos(bx+c) ifadesinin maksimum değeri 11, minimum değeri −1-1 olur. Bu değerler fonksiyonu sırasıyla en büyük ve en küçük değerlerine ulaştırır.
2
Periyot katsayısını (bb) belirleme
2π∣b∣=π⇒b=2\frac{2\pi}{|b|} = \pi \Rightarrow b = 2 bulunur.
Kosinüs fonksiyonunun esas periyodu T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır ve soruda periyot π\pi olarak verilmiştir (b>0b > 0).
3
Yatay öteleme açısını (cc) belirleme
f(0)=3⇒3cos⁡(c)+2=3⇒cos⁡(c)=13f(0) = 3 \Rightarrow 3\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = \frac{1}{3} bulunur. Buradan sin⁡(c)=223\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3} elde edilir.
Grafik yy eksenini (0,3)(0, 3) noktasında kesmektedir. c∈[0,π)c \in [0, \pi) aralığında kosinüsü pozitif olan açının sinüsü de pozitif olmalıdır.
4
f(π/12)f(\pi/12) değerini hesaplama
f(π/12)=3cos⁡(2⋅π12+c)+2=3cos⁡(π6+c)+2=4+3−222f(\pi/12) = 3\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12} + c\right) + 2 = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + c\right) + 2 = \frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} bulunur.
Kosinüs toplam formülü cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta kullanılarak cos⁡(π6+c)=32⋅13−12⋅223\cos(\frac{\pi}{6} + c) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri üzerindeki tepe noktaları, periyot ve öteleme parametreleri ile fonksiyonun katsayıları arasındaki ilişki.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Bu konudan daha fazla soru