Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAritmetik Dizi ve Özellikleri
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında
a82−a42=96a_8^2 - a_4^2 = 96
a2+a10=12a_2 + a_{10} = 12
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 5. terimi (a5a_5) kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

Bu aritmetik dizinin 5. terimi (a5a_5) 4 olarak bulunur.
Aritmetik dizilerin indis özellikleri kullanıldığında, a2+a10=2a6=12a_2 + a_{10} = 2a_6 = 12 eşitliğinden a6=6a_6 = 6 bulunur. Ardından a8a_8 ve a4a_4 terimleri a6a_6 ve ortak fark rr cinsinden a8=6+2ra_8 = 6+2r, a4=6−2ra_4 = 6-2r olarak yazılıp kareler farkı denkleminde yerine koyulduğunda, (6+2r)2−(6−2r)2=96  ⟹  48r=96  ⟹  r=2(6+2r)^2 - (6-2r)^2 = 96 \implies 48r = 96 \implies r = 2 elde edilir. İstenen 5. terim ise a5=a6−r=6−2=4a_5 = a_6 - r = 6 - 2 = 4 olarak doğru hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamlarının eşit olması özelliğini kullanarak a6a_6 terimini hesaplamak.
a2+a10=2a6=12  ⟹  a6=6a_2 + a_{10} = 2a_6 = 12 \implies a_6 = 6 elde edilir.
2+10=6+62 + 10 = 6 + 6 olduğundan indislerin ortalaması bize ortadaki terimi verir.
2
a8a_8 ve a4a_4 terimlerini a6a_6 ve ortak fark rr türünden ifade etmek.
a8=a6+2r=6+2ra_8 = a_6 + 2r = 6 + 2r ve a4=a6−2r=6−2ra_4 = a_6 - 2r = 6 - 2r şeklinde yazılır.
Aritmetik dizide her terim an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r kuralı ile ba��ka bir terim cinsinden yazılabilir.
3
Elde edilen ifadeleri kareler farkı denkleminde yerine yazıp ortak fark olan rr değerini bulmak.
a82−a42=(6+2r)2−(6−2r)2=96  ⟹  48r=96  ⟹  r=2a_8^2 - a_4^2 = (6+2r)^2 - (6-2r)^2 = 96 \implies 48r = 96 \implies r = 2 bulunur.
Tam kare ifadeler açılıp farkı alındığında sadeleşerek 48r48r ifadesine eşit olur.
4
Bulunan a6a_6 ve rr değerlerini kullanarak istenen a5a_5 terimini hesaplamak.
a5=a6−r=6−2=4a_5 = a_6 - r = 6 - 2 = 4 elde edilir.
Dizinin 5. terimi, 6. teriminden bir ortak fark (rr) eksiktir.

Anahtar Kavram

Aritmetik Dizilerde Terim Özellikleri ve İndis İlişkileri
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru