1'den farklı x ve y pozitif gerçel sayıları için, \log_2 x + \log_2 y = 5 \log_x 2 + \log_… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1'den farklı

x

y

pozitif gerçel sayıları için,

\log_2 x + \log_2 y = 5

\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{5}{6}

olduğuna göre,

6(\log_x y + \log_y x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 13

Verilen denklem sisteminden taban değiştirme ve değişken değiştirme yöntemleriyle

u = \log_2 x

v = \log_2 y

için

u+v=5

u\cdot v=6

elde edilir. İstenen

6(\log_x y + \log_y x)

ifadesi

6\left(\frac{u^2+v^2}{uv}\right)

şeklinde yazılabilir.

u^2+v^2 = (u+v)^2-2uv = 25-12=13

olduğundan, ifadenin değeri

6\cdot \frac{13}{6} = 13

bulunur.

Logaritmanın taban değiştirme özelliği kullanılarak verilen denklemler ortak tabana dönüştürüldüğünde, değişkenler arasında

u+v=5

uv=6

ilişkileri bulunur. İstenen ifade de taban değiştirme kuralı ile

u

v

cinsinden yazıldığında, iki kare toplamı özdeşliği yardımıyla ifadenin değerinin 13 olduğu görülür.

Taban değiştirme özelliğini uygulama

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}

\log_y 2 = \frac{1}{\log_2 y}

eşitlikleri elde edilir.

Denklemleri ortak tabanda (taban 2) ifade etmek için.

Değişken tanımlama

u = \log_2 x

v = \log_2 y

tanımlaması ile

u + v = 5

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{5}{6}

denklemleri yazılır.

Cebirsel işlemleri sadeleştirmek ve çözümü kolaylaştırmak için.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözme

u \cdot v = 6

elde edilir.

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{u+v}{uv}

ifadesinde

u+v=5

yazılarak çarpım değerini bulmak için.

İstenen ifadeyi yeni değişkenler cinsinden yazma ve özdeşlik kullanma

6(\log_x y + \log_y x) = 6\left(\frac{u^2+v^2}{uv}\right) = 6\left(\frac{(u+v)^2-2uv}{uv}\right)

elde edilir.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla istenen ifadeyi

u

v

cinsinden ifade edip özdeşlikler yardımıyla değerini hesaplamak için.

Değerleri yerine koyarak sonucu hesaplama

İfadenin değeri 13 olarak bulunur.

u+v=5

uv=6

değerlerini formülde yerine yazarak sonuca ulaşmak için.

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme Özelliği ve Özdeşlikler

Soru