Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=12x2−4xf(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−3x)g(x) = f(x^2 - 3x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevap: 9

Cevap

g(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.
g(x) fonksiyonunun türevi sıfırdan küçük veya eşitlendiğinde elde edilen eşitsizliğin çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar 2, 3 ve 4 olup toplamları 9 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun türevi için zincir kuralını uygulayın.
g′(x)=f′(x2−3x)⋅(2x−3)g'(x) = f'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3)
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunu bulun ve türev denkleminde yerine yazın.
f′(x)=x−4  ⟹  f′(x2−3x)=x2−3x−4f'(x) = x - 4 \implies f'(x^2 - 3x) = x^2 - 3x - 4 ve g′(x)=(x2−3x−4)(2x−3)g'(x) = (x^2 - 3x - 4)(2x - 3)
Türevin işaret incelemesini yapabilmek için fonksiyonun açık ifadesine ulaşmamız gerekir.
3
g′(x)g'(x) ifadesini çarpanlarına ayırıp köklerini belirleyin.
g′(x)=(x−4)(x+1)(2x−3)=0  ⟹  x1=−1,x2=1.5,x3=4g'(x) = (x-4)(x+1)(2x-3) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 1.5, x_3 = 4
İşaret tablosu oluşturabilmek için türevi sıfır yapan kritik noktalar (kökler) bulunur.
4
g′(x)≤0g'(x) \leq 0 eşitsizliği için işaret tablosu oluşturarak fonksiyonun azalan olduğu aralıkları belirleyin.
Azalan olduğu aralıklar: (−∞,−1](-\infty, -1] ve [1.5,4][1.5, 4]
Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklar, fonksiyonun azalan olduğu aralıklardır.
5
Belirlenen aralıklarda yer alan pozitif tam sayıları bulun ve toplayın.
Pozitif tam sayılar: 2,3,42, 3, 4 ve toplamları 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9
(−∞,−1](-\infty, -1] aralığında pozitif tam sayı yoktur. [1.5,4][1.5, 4] aralığındaki pozitif tam sayılar ise 2,32, 3 ve 44'tür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için türevinin işareti incelenir. Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda fonksiyon azalandır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru