1'den büyük a, b ve c gerçel sayıları için, \log_a(bc) = 2 \log_b(a^2 c) = 5 olduğuna göre… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1'den büyük

a

b

c

gerçel sayıları için,

\log_a(bc) = 2

\log_b(a^2 c) = 5

olduğuna göre,

\log_c(a^4 b^2)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 4

İfadenin değeri 4'tür.

Verilen iki logaritmik eşitlik taban değiştirme kuralı yardımıyla

\ln

tabanına dönüştürülüp

\ln a = u

\ln b = v

\ln c = w

değişken dönüşümleri yapıldığında, değişkenler arasında

u = 1.5v

w = 2v

bağıntıları bulunur. İstenen

\log_c(a^4 b^2)

ifadesi taban değiştirme kuralı ile

\frac{4u+2v}{w}

şeklinde yazıldığında, değişkenlerin yerine konulmasıyla sonuç 4 olarak elde edilir.

Logaritma taban değiştirme kuralını kullanarak denklemleri aynı tabanda yazmak.

\ln a = u

\ln b = v

\ln c = w

olmak üzere;

v + w = 2u

2u + w = 5v

denklemleri elde edilir.

Değişkenler arasındaki ilişkileri kolayca analiz edebilmek için logaritmik ifadeleri ortak bir tabana dönüştürüyoruz.

Elde edilen denklem sistemini çözerek değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek.

w = 2u - v

ifadesini ikinci denklemde yerine koyarak

u = \frac{3}{2}v

w = 2v

bulunur.

İstenen ifadedeki değişken oranlarını bulmak için ortak ç��züme ihtiyaç vardır.

İstenen

\log_c(a^4 b^2)

ifadesini taban değiştirme kuralı ile açarak bulduğumuz değerleri yerine yazmak ve sadeleştirmek.

\log_c(a^4 b^2) = \frac{4u+2v}{w} = \frac{4(\frac{3}{2}v) + 2v}{2v} = \frac{8v}{2v} = 4

elde edilir.

İstenen ifadenin sayısal değerine ulaşmak için.

Logaritma fonksiyonunun taban değiştirme özelliği ve logaritma özelliklerinin denklem sistemlerinde uygulanması.

Soru