Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den farklı aa, bb ve cc pozitif gerçel sayılar�� için
3log⁡ab+2log⁡bc=83\log_a b + 2\log_b c = 8
log⁡ba+log⁡cb=32\log_b a + \log_c b = \frac{3}{2}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡ac\log_a c ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. B
    22
  3. C
    8627\frac{86}{27}
  4. 11827\frac{118}{27}Cevap
  5. E
    599\frac{59}{9}

Cevap

11827\frac{118}{27}
Verilen denklem sisteminde logaritmaların taban değiştirme özellikleri kullanılarak değişken dönüştürme yapıldığında, log⁡ac\log_a c ifadesinin alabileceği değerler 22 ve 6427\frac{64}{27} olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 11827\frac{118}{27}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma ifadeleri için değişken dönüşümü tanımlama.
log⁡ab=x\log_a b = x ve log⁡bc=y\log_b c = y olsun. Bu durumda taban değiştirme kuralı gereğince log⁡ba=1x\log_b a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} olur.
Denklem sistemini bilinmeyenleri xx ve yy olan cebirsel bir sisteme dönüştürmek için.
2
Verilen eşitlikleri yeni değişkenler cinsinden yazma.
3x+2y=83x + 2y = 8 ve 1x+1y=32\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} denklem sistemi elde edilir.
Çözüm adımlarına geçebilmek için cebirsel ifadeleri düzenlemek.
3
Elde edilen denklem sistemini çözme.
2y=8−3x  ⟹  y=4−32x2y = 8 - 3x \implies y = 4 - \frac{3}{2}x ifadesini ikinci denklemde yerine koyup düzenlediğimizde 9x2−26x+16=09x^2 - 26x + 16 = 0 denklemi elde edilir.
Tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde etmek için yerine koyma metodunu uygulamak.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulma ve yy değerlerini hesaplama.
(x−2)(9x−8)=0(x - 2)(9x - 8) = 0 denkleminin kökleri x1=2x_1 = 2 ve x2=89x_2 = \frac{8}{9}'dur. Buradan sırasıyla y1=1y_1 = 1 ve y2=83y_2 = \frac{8}{3} bulunur.
Her iki durum için log⁡ab\log_a b ve log⁡bc\log_b c değerlerini ayrı ayrı belirlemek.
5
log⁡ac\log_a c ifadesinin değerlerini hesaplama ve toplama.
Taban değiştirme zincir kuralına göre log⁡ac=log⁡ab⋅log⁡bc=x⋅y\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c = x \cdot y olur. Birinci durumdan 2⋅1=22 \cdot 1 = 2, ikinci durumdan 89⋅83=6427\frac{8}{9} \cdot \frac{8}{3} = \frac{64}{27} bulunur. Bu değerlerin toplamı 2+6427=118272 + \frac{64}{27} = \frac{118}{27} yapar.
İstenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı ve zincir kuralı uygulamaları.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru