Türevlenebilir ve sıfırdan farklı değerler alan bir f fonksiyonu için g(x) = f\left(\frac{… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Türevlenebilir ve sıfırdan farklı değerler alan bir

f

fonksiyonu için

g(x) = f\left(\frac{x+1}{f(x)}\right)

biçiminde tanımlanıyor.

f(1) = 2

f'(1) = 4

olduğuna göre,

g'(1)

değeri kaçtır?

Cevap: -6

Doğru cevap -6'dır.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı ve bölümün türevi kuralları doğru bir şekilde uygulanıp

x=1

değeri yerine yazıldığında, içteki fonksiyonun değeri

1

ve bu noktadaki türevi

-\frac{3}{2}

olarak bulunur. Dıştaki fonksiyonun türevi olan

f'(1)=4

ile içteki kısmın türevi olan

-\frac{3}{2}

çarpıldığında doğru cevap

-6

elde edilir.

Bileşke fonksiyonun türevi kuralını uygulayarak genel türev denklemini oluşturun.

g'(x) = f'\left(\frac{x+1}{f(x)}\right) \cdot \left(\frac{x+1}{f(x)}\right)'

Bileşke fonksiyon türevlenirken dıştaki fonksiyonun türevi alınıp içi aynen bırakılır ve bu ifade içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.

Bölümün türevi kuralını kullanarak içteki

\frac{x+1}{f(x)}

ifadesinin türevini bulun.

h'(x) = \frac{1 \cdot f(x) - (x+1) \cdot f'(x)}{[f(x)]^2}

Bölüm durumundaki bir ifadenin türevi; payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi, bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.

x = 1 için içteki fonksiyonun değerini ve türevini hesaplayın.

İçteki fonksiyonun değeri:

h(1) = \frac{1+1}{f(1)} = \frac{2}{2} = 1

. İçteki fonksiyonun türevi:

h'(1) = \frac{f(1) - 2 \cdot f'(1)}{[f(1)]^2} = \frac{2 - 2 \cdot 4}{2^2} = -\frac{3}{2}

Türev ifadesinde

x = 1

yazılarak her bir bileşenin değeri hesaplanır.

Tüm değerleri birleştirerek

g'(1)

sonucuna ulaşın.

g'(1) = f'(1) \cdot h'(1) = 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -6

Zincir kuralından elde edilen bileşenler çarpılarak nihai türev değeri elde edilir.

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpan olarak eklenir.

Soru