Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S9−S7=72S_9 - S_7 = 72
a3+a13=68a_3 + a_{13} = 68

olduğuna göre, bu dizinin ilk 20 teriminin toplamı (S20S_{20}) kaçtır?

  1. A
    820
  2. B
    840
  3. C
    860
  4. 880Cevap
  5. E
    920

Cevap

İlk 20 terim toplamı 880'dir.
İlk 9 terim toplamı ile ilk 7 terim toplamının farkı olan 72, dizinin 8. ve 9. terimlerinin toplamına eşittir. Genel terim formülü kullanılarak bu toplam 2a1+15d=722a_1 + 15d = 72 şeklinde yazılır. Benzer şekilde, 3. ve 13. terimlerin toplamı olan 68 ifadesi 2a1+14d=682a_1 + 14d = 68 olarak yazılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde ortak fark d=4d = 4 ve ilk terim a1=6a_1 = 6 bulunur. İlk 20 terim toplamı formülü olan S20=10(2a1+19d)S_{20} = 10(2a_1 + 19d) ifadesinde bulunan değerler yerine yazıldığında doğru sonuç olan sekiz yüz seksen değeri hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
S9−S7S_9 - S_7 ifadesini terimler cinsinden yazmak.
S9−S7=a8+a9=72S_9 - S_7 = a_8 + a_9 = 72
İlk 9 terim toplamından ilk 7 terim toplamı çıkarıldığında geriye 8. ve 9. terimler kalır.
2
Verilen eşitlikleri dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak farkı (dd) cinsinden ifade etmek.
2a1+15d=722a_1 + 15d = 72 ve 2a1+14d=682a_1 + 14d = 68
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d genel terim formülü kullanılarak a8+a9=2a1+15da_8 + a_9 = 2a_1 + 15d ve a3+a13=2a1+14da_3 + a_{13} = 2a_1 + 14d denklemleri elde edilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek a1a_1 ve dd değerlerini bulmak.
d=4d = 4 ve a1=6a_1 = 6
İkinci denklem birinci denklemden çıkarılarak d=4d = 4 bulunur. Bu değer denklemlerden birinde yerine yazılarak a1=6a_1 = 6 elde edilir.
4
İlk 20 terim toplamını (S20S_{20}) hesaplamak.
S20=880S_{20} = 880
Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) formülünde n=20n=20, a1=6a_1=6 ve d=4d=4 değerleri yerine yazılarak S20=10(12+19⋅4)=880S_{20} = 10(12 + 19 \cdot 4) = 880 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ile genel terim formülü arasındaki ilişki.
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bu konudan daha fazla soru