Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar
f′(x)=(x−3)2(x2−ax+16)f'(x) = (x-3)^2(x^2 - ax + 16) türev fonksiyonuna sahip f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonunun azalan olduğu herhangi bir aralık bulunmamaktadır.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin en geniş kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [−4,4][-4, 4]
  2. B
    (−8,8)(-8, 8)
  3. [−8,8][-8, 8]Cevap
  4. D
    (−∞,−8]∪[8,∞)(-\infty, -8] \cup [8, \infty)
  5. E
    [−16,16][-16, 16]

Cevap

[−8,8][-8, 8] kapalı aralığı
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması koşulundan elde edilen x2−ax+16≥0x^2 - ax + 16 \geq 0 eşitsizliğinin her xx için sağlanması gerekir. Bu da diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olmasıyla mümkündür. Buradan elde edilen a2−64≤0a^2 - 64 \leq 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [−8,8][-8, 8] kapalı aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Azalanlık durumunun türev ile ilişkisini kurma.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 olmalıdır.
Bir fonksiyonun azalan olduğu bir aralığının bulunmaması, o fonksiyonun hiçbir yerde negatif türeve sahip olmaması gerektiği, yani türevin daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği anlamına gelir.
2
Türev ifadesindeki çarpanları analiz etme.
x2−ax+16≥0x^2 - ax + 16 \geq 0 olmalıdır.
f′(x)=(x−3)2(x2−ax+16)f'(x) = (x-3)^2(x^2 - ax + 16) ifadesinde, (x−3)2(x-3)^2 terimi her xx gerçel sayısı için tam kare olduğundan sıfırdan büyük veya eşittir. Çarpımın daima sıfırdan büyük veya eşit kalabilmesi için diğer çarpan olan x2−ax+16x^2 - ax + 16 ifadesinin de daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
3
İkinci dereceden ifadenin daima sıfırdan büyük veya eşit olma koşulunu (diskriminantı) inceleme.
Δ=a2−64≤0  ⟹  a∈[−8,8]\Delta = a^2 - 64 \leq 0 \implies a \in [-8, 8]
Baş katsayısı pozitif olan bir ikinci dereceden ifadenin her xx gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olması, grafiğinin xx eksenini kesmemesi veya teğet olması anlamına gelir. Bu durum Δ≤0\Delta \leq 0 eşitsizliği ile sağlanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi ve tekil noktalarda türevin sıfır olma durumunun incelenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru