Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
x2−3xy+2y2+x−y=0x2−y2−x+y=4\begin{aligned} x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y &= 0 \\ x^2 - y^2 - x + y &= 4 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -3
  2. B
    -2
  3. C
    -1
  4. 3Cevap
  5. E
    5

Cevap

Farklı x+yx+y değerlerinin toplamı 3'tür.
Sistemin ilk denkleminden (x−y)(x−2y+1)=0(x-y)(x-2y+1)=0 çarpanları elde edilir. x=yx=y eşitliği ikinci denklemde çelişkiye sebep olduğundan çözüm üretmez. x=2y−1x=2y-1 eşitliği ikinci denklemde yerine yazıldığında elde edilen 3y2−5y−2=03y^2-5y-2=0 denkleminin kökleri y=2y=2 ve y=−1/3y=-1/3 olarak bulunur. Bu değerlere karşılık gelen xx değerleriyle birlikte çözüm ikilileri (3,2)(3,2) ve (−5/3,−1/3)(-5/3, -1/3) olur. Bu ikililer için x+yx+y toplamları sırasıyla 55 ve −2-2 olup, bu değerlerin toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk denklemi gruplandırarak çarpanlarına ayırın.
x2−3xy+2y2+x−y=0  ⟹  (x−y)(x−2y)+(x−y)=0  ⟹  (x−y)(x−2y+1)=0x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y = 0 \implies (x-y)(x-2y) + (x-y) = 0 \implies (x-y)(x-2y+1) = 0 elde edilir.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini daha basit doğrusal ilişkilere indirgemek için.
2
İlk çarpanı sıfır yapan x=yx=y durumunu ikinci denklemde inceleyin.
x2−y2−x+y=4  ⟹  y2−y2−y+y=4  ⟹  0=4x^2 - y^2 - x + y = 4 \implies y^2 - y^2 - y + y = 4 \implies 0 = 4 çelişkisi elde edilir.
x=yx=y durumundan herhangi bir gerçek sayı çözümü gelip gelmediğini kontrol etmek için.
3
İkinci çarpanı sıfır yapan x−2y+1=0  ⟹  x=2y−1x-2y+1=0 \implies x=2y-1 durumunu ikinci denklemde yerine yazarak çözün.
İkinci denklem (x−y)(x+y)−(x−y)=4  ⟹  (x−y)(x+y−1)=4(x-y)(x+y) - (x-y) = 4 \implies (x-y)(x+y-1) = 4 olarak yazılabilir. Burada x=2y−1x=2y-1 yazılırsa:
(y−1)(3y−2)=4  ⟹  3y2−5y−2=0  ⟹  (3y+1)(y−2)=0(y-1)(3y-2) = 4 \implies 3y^2 - 5y - 2 = 0 \implies (3y+1)(y-2) = 0 elde edilir.
Buradan y=2y = 2 veya y=−13y = -\frac{1}{3} bulunur.
Tek bilinmeyenli ikinci dereceden denklem elde edip yy koordinatlarını çözmek için.
4
Bulunan yy değerlerine karşılık gelen xx değerlerini ve x+yx+y toplamlarını hesaplayıp toplayın.
Eğer y=2y=2 ise x=2(2)−1=3x=2(2)-1 = 3 olur. Çözüm ikilisi (3,2)(3, 2) ve bu durumda x+y=5x+y = 5'tir.
Eğer y=−13y=-\frac{1}{3} ise x=2(−13)−1=−53x=2\left(-\frac{1}{3}\right)-1 = -\frac{5}{3} olur. Çözüm ikilisi (−53,−13)\left(-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\right) ve bu durumda x+y=−2x+y = -2'dir.
Farklı x+yx+y değerlerinin toplamı: 5+(−2)=35 + (-2) = 3 bulunur.
Sistemi sağlayan tüm çözümler üzerinden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri