Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Şekildeki analitik düzlemde, f(x)=−x2+4x−3f(x) = -x^2 + 4x - 3 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafikteki boyalı bölge; y=f(x)y = f(x) eğrisi, koordinat eksenleri ve x=3x = 3 doğrusu ile sınırland��rılmıştır. Buna göre, boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. 83\frac{8}{3}Cevap
  2. B
    0
  3. C
    43\frac{4}{3}
  4. D
    23\frac{2}{3}
  5. E
    4

Cevap

Boyalıbo¨lgeninalanı83birimkaredir.Boyalı bölgenin alanı \frac{8}{3} birimkaredir.
Boyalı bölgenin alanını bulmak için fonksiyonun x-eksenini kestiği noktalar incelenmelidir. f(x)=−x2+4x−3=0f(x) = -x^2 + 4x - 3 = 0 denkleminin kökleri x=1x=1 ve x=3x=3'tür. [0,3][0, 3] aralığındaki alan iki parçaya ayrılır: [0,1][0, 1] aralığında grafik x-ekseninin altında olduğundan bu bölgenin alanı −∫01f(x) dx-\int_0^1 f(x) \, dx ile, [1,3][1, 3] aralığında grafik x-ekseninin üstünde olduğundan bu bölgenin alanı ise ∫13f(x) dx\int_1^3 f(x) \, dx ile hesaplanır. Bu iki değer hesaplandığında A1=43A_1 = \frac{4}{3} ve A2=43A_2 = \frac{4}{3} bulunur. Toplam alan \frac{8}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemi çözülür.
−x2+4x−3=0  ⟹  (x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \implies x=1 ve x=3x=3 bulunur. Boyalı bölge [0,1][0, 1] ve [1,3][1, 3] aralıkları olmak üzere iki parçaya ayrılır.
Fonksiyonun x-ekseninin altında ve üstünde kaldığı aralıkları belirlemek için kökler bulunur.
2
[0,1][0, 1] aralığında fonksiyon negatif değerler aldığından (f(x)≤0f(x) \le 0), bu aralıktaki alan integralin negatif değeri alınarak hesaplanır.
A1=−∫01(−x2+4x−3) dx=[x33−2x2+3x]01=13−2+3=43A_1 = -\int_0^1 (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3} birimkare.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı integralin mutlak değeri alınarak hesaplanmalıdır.
3
[1,3][1, 3] aralığında fonksiyon pozitif değerler aldığından (f(x)≥0f(x) \ge 0), bu aralıktaki alan doğrudan integral ile hesaplanır.
A2=∫13(−x2+4x−3) dx=[−x33+2x2−3x]13=(−9+18−9)−(−13+2−3)=0−(−43)=43A_2 = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_1^3 = ( -9 + 18 - 9 ) - ( -\frac{1}{3} + 2 - 3 ) = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} birimkare.
x-ekseninin üstünde kalan bölgelerin alanı doğrudan belirli integral değerine eşittir.
4
Elde edilen A1A_1 ve A2A_2 alanları toplanarak toplam boyalı alan bulunur.
Toplam Alan =A1+A2=43+43=83= A_1 + A_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} birimkare.
Boyalı bölge bu iki alt bölgenin birleşiminden oluşmaktadır.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanılarak eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanının hesaplanması ve x-ekseninin altında kalan bölgeler için integralin negatif değerinin alınması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru